Realizando la división polinómica en $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]$

Question

Supongamos que tenemos dos polinomios $$X^5 - 10X + 12 \qquad \text{y} \qquad X^2 + 2X$$ en $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]$ para algún $n > 1$. Estoy un poco indeciso sobre cómo realizar la división de polinomios $$(X^5 - 10X + 12):(X^2 + 2X)$$ pero hasta donde puedo ver, podemos hacer esto en $\mathbb{Z}[X]$ y luego considerar el resultado en $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]$. ¿Por qué exactamente es esto legítimo?

Answer 1

Esto se debe a que existe un isomorfismo canónico $$\mathbf Z[X]/n\mathbf Z[X]\simeq(\mathbf Z/n\mathbf Z)[X]$$ y porque se divide por un polinomio mónico (de lo contrario, podría haber artefactos debido a la división por $0$).

Answer 2

Eso es porque el mapa de módulo usual

$$F:\mathbb{Z}\to(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ $$F(x)=x + n\mathbb{Z}$$ es un homomorfismo de anillos que se extiendo a un homomorfismo entre anillos de polinomios:

$$\overline{F}:\mathbb{Z}[X]\to(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]$$ $$\overline{F}(a_nX^n + \cdots + a_0)=F(a_n)X^n + \cdots + F(a_0)$$

Así que si tienes $W = U\cdot V$ para algunos polinomios sobre $\mathbb{Z}$, entonces $\overline{F}(W)=\overline{F}(U)\cdot \overline{F}(V)$.

La clave es que ambos mapas son epimorfismos. Ahora, si puedes encontrar una preimagen de ambos de tus polinomios (que son sobre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$) como polinomios sobre $\mathbb{Z}$ entonces estás listo. Solo necesitas hacer división de polinomios y aplicar el mapa de módulo nuevamente. Pero esa preimagen es trivial: son simplemente los mismos polinomios tratados como polinomios de $\mathbb{Z}$.