Subgrupo de $A_n$ generado por un 3-ciclo y un n-ciclo

Question

Como se señala aquí, un $n$-ciclo $a=(12\ldots n)$ y un ciclo de 3 $b=(147)$ no generarán $A_n$ si n es un múltiplo impar de 3, al menos para $n=9$.

¿Cómo calculamos la estructura y el orden de este grupo $\langle a,b\rangle$? Algunos scripts de Sage me dicen que el orden es $81$ cuando $n=9$ y $648000$ cuando $n=15$. Pero no tengo ni idea de cómo se ven incluso para esos ejemplos con $n$ pequeños.

Answer 1

El grupo $G$ generado es $A_{n/3} \wr A_3$.

Para $i=0,1,2$, sea $X_i := \{ k : 1 \le k \le n,\, k \equiv i \bmod 3 \}$, y sea $H= \langle a^3,b \rangle$ el subgrupo de $G$ generado por $a^3$ y $b$.

Entonces $H$ fija cada uno de los conjuntos $X_i$, e induce $A_{n-3}$ en $X_1$. Dado que $b$ fija todos los puntos en $X_2 \cup X_3$, y $a^3$ induce $C_{n/3}$ en ellos, es fácil ver que (usando la simplicidad de $A_{n/3}$ cuando $n \ge 15$) que $H \cong A_{n/3} \times C_{n/3}$.

Entonces $G$ contiene el grupo $H_1 := A_{n/3}$ actuando en $X_1$ y fijando todos los puntos restantes, y conjugando por $a$ se obtienen subgrupos correspondientes $H_2$ y $H_3$ actuando en $X_2$ y $X_3$. Ahora debería estar claro que $G = A_{n/3} \wr A_3$.