Paso inductivo al trabajar con grupos cociente, prueba sobre subgrupos normales de grupos especiales

Question

Tengo una pregunta sobre la siguiente demostración de la caracterización de subgrupos normales de grupos que son productos directos de grupos simples no abelianos:

Teorema: Sea $G = G_1 \times \cdots \times G_n$, donde $G_1, \ldots, G_n$ son no abelianos y simples, y sea $N \unlhd G$. Entonces existe algún conjunto $J \subseteq \{1,\ldots, n\}$ tal que $$ N = \times_{j \in J} G_j \quad \mbox{ y } \quad G_k \cap N = 1 \mbox{ para } k \notin J. $$

La prueba se hace por inducción en $n$. Solo muestro la parte relevante:

Supongamos $k \in \{1,\ldots, n\}$ con $N\cap G_k \ne 1$. Entonces $G_k \le N$ porque $G_k$ es simple, sea $\overline G/G_k$, entonces $$ \overline G = \times_{i\ne k} G_i/G_k $$ con $G_i / G_k \cong G_i$ para $i \ne k$. Por hipótesis de inducción existe $J' \subseteq \{1, \ldots, n \}$ con $k \notin J'$ tal que $$ \overline N = \times_{j\in J'} G_j/G_k \quad \mbox{ con } \quad G_i/G_k \cap \overline N = 1 \mbox{ para } i \notin j'. $$ Pero entonces para $J := J' \cup \{ k \}$ tenemos $$ N = \times_{j\in J} G_j \quad \mbox{ con } \quad N\cap G_i = 1 \mbox{ para } i \notin J. $$

No entiendo el último paso, la lógica es algo así como "debido a que $$ G/N = G'/N $$ podemos concluir que $G = G'$", pero como descubrí, esta lógica no se cumple en general, ver el Problema de Extensión. ¿Así que qué está pasando aquí?

(nota sobre la notación: no sé cómo hacer el símbolo grande de $\times$...)

Answer 1

Quieres usar el siguiente resultado:

Si $G$ es cualquier grupo, $K$ es un factor directo de $G$, y $H$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $K$, entonces $K$ es un factor directo de $H.

En tu caso, usarías esto para concluir que $G_k$ es un factor directo de $N$, y la hipótesis inductiva te dice que los factores restantes (si los hay) son alguna colección de los $G_i$ restantes, posiblemente vacía.

EDIT:

Prueba del resultado afirmado:

Supongamos que $G=K\times L$ y $K\subseteq H\subseteq G$. Para cualquier $h\in H$ existe $a\in K, b\in L$ con $h=ab$. Dado que $K\subseteq H$, tenemos que $a^{-1}h = b\in H$. Tomando $T=\{b\in L \ : \ ab\in H \mbox{ para algún } a\in K\}$, podemos concluir que $T$ es un subgrupo de $H$ (y de hecho de $L$) tal que $H=KT$, $K\cap T=\{1_G\}$, y $[K,T]=\{1_G\}$. Se sigue que $H$ es el producto directo de $K$ y $T.

Note que puedes usar notación ligeramente diferente dependiendo de cómo optes por escribir productos directos de esta forma. Por ejemplo, puedes escribir $h=(a,b)$, en cuyo caso podríamos decir $(a^{-1},1)h = (1,b)\in H$, etc. Esta es solo una distinción técnica entre si interpretamos $G$, a nivel de conjuntos, como el producto cartesiano real de los conjuntos $K$ y $L$, o si simplemente usamos el símbolo $\times$ para denotar las condiciones de producto directo sin necesariamente implicar un producto cartesiano de los conjuntos subyacentes. Esta última es la situación más general, y es la que estaba usando.

En tu caso, tendríamos entonces que $N=G_k\times L$ para algún subgrupo normal $L$ de $\times_{i\neq k} G_i$. Aplica la hipótesis inductiva a $L$. De esta manera, evitamos por completo los cocientes, y así evitamos tus preocupaciones sobre el problema de extensión. Aunque, consulta mi comentario sobre un resultado de Ayoub que muestra que el problema no existe para productos directos de ciertos grupos.