Números primos y ciertas fracciones de la unidad

Question

¿Hay números primos $p,q$ y un número natural $a$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{a}$?

Answer 1

Solamente para $p=q=2$. De hecho, si es el caso, entonces $$\frac{p+q}{pq}=\frac1a$ y $p+q$ divide $pq$. Pero sólo un $1$, $p$, $q$y $pq$ brecha $pq$. Sin duda $p+q$ no es ninguno de los tres primeros números. La otra posibilidad es$$ p+q=pq pero en este caso, $$1\le q-1\le(p-1)(q-1)=pq-p-q+1=1 así que todas las expresiones en la cadena de desigualdades son realmente iguales. Por lo tanto, $p=q=2$.