¿Es $\{(z_1,z_2) \in \mathbb{C}^2 :|z_1|=|z_2| = 1, z_1^m = z_2^n\}$ un círculo?

Question

Corrige $m,n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ y considera el subespacio $$ A = \{(z_1,z_2) \in \mathbb{C}^2 :|z_1|=|z_2| = 1, z_1^m = z_2^n\} $$ del $2$-toro. ¿Es este espacio homeomorfo a un círculo?

Pensando en $S^1$ como el círculo unitario en $\mathbb{C}$ hay un mapa $S^1 \to A$ dado por $z \mapsto (z^n,z^m)$. ¿Es este mapa obviamente biyectivo?

Answer 1

Arregla enteros $m\neq 0$ y $n$. Nuestro objetivo es encontrar todas las soluciones de la ecuación $z_1^n = z_2^m$ con $(z_1,z_2)\in T^2$.

Como observaste, la curva $S^1\ni z\mapsto (z_1, z_2) = (z^m,z^n)$ parametriza infinitas soluciones a la ecuación $z_1^n = z_2^m$. Potencialmente se pueden obtener más soluciones mediante el siguiente procedimiento: si $\alpha$ es una raíz $n$-ésima de la unidad y $\beta$ es una raíz $m$-ésima de la unidad, entonces cualquier punto de la forma $$(z_1,z_2) = (\alpha z^m, \beta z^n) \hspace{1 in} (\ast)$$ también es una solución. Demostraremos que los puntos de esta forma comprenden todas las soluciones, y determinaremos todas las redundancias.

Aquí está el resultado principal:

Cada solución $(z_1,z_2)$ de la ecuación $z_1^n = z_2^m$ tiene una descripción única de la forma $$(z_1,z_2) = (z^m, \beta^k z^n)$$ donde $\beta$ es una raíz primitiva fija $|m|$-ésima de $1$, $k = 0, 1,..., \gcd(m,n)$, y donde $|z| = 1$. En particular, la solución consta de $gcd(m,n)$ curvas cerradas no intersectantes por pares.

Probémoslo.

Proposición 1: Todas las soluciones tienen la forma $(\ast)$. Incluso se puede tomar $\alpha=1$.

Prueba: Supongamos que $(z_1,z_2)$ resuelve $z_1^n = z_2^m$. Debido a que $m\neq 0$, existe una raíz $|m|$-ésima de $z_1$. Elija $z$ como cualquier raíz $|m|$-ésima de $z_1$. Luego $$(z^n)^m = (z^m)^n = z_1^n = z_2^m.$$ Así, $z_2\overline{z}^n = \beta$ es una raíz $m$-ésima de la unidad. Entonces $$(z^m, \beta z^n) = (z_1, z_2)$$ como se afirma. $\square$

Por lo tanto, tenemos una forma de describir todas las soluciones: cada solución tiene la forma $(z_1,z_2) = (z^m, \beta z^n)$ para algún $z\in S^1$ y $\beta$ una raíz $m$-ésima de la unidad.

Pero puede haber alguna redundancia en esta descripción.

Proposición 2: Supongamos que $\beta_1,\beta_2$ son raíces $|m|$-ésimas de la unidad. Si $\beta_1 = \beta^n \beta_2$ para alguna raíz $|m|$-ésima de la unidad $\beta$, entonces las dos curvas $z\mapsto (z^m, \beta_1 z^n)$ y $w \mapsto (w^m, \beta_2 w^n)$ tienen precisamente la misma imagen.

Recíprocamente, si estas dos curvas se intersectan en algún punto, entonces $\beta_1 = \beta^n \beta_2$ para alguna raíz $|m|$-ésima de la unidad $\beta$.

Prueba: Supongamos primero que $\beta_1 = \beta^n \beta_2$. Ahora, dado $w$, fije $z = \beta^{-1} w$. Luego $$(z^m, \beta_1 z^n) = ((\beta^{-1} w)^m, \beta_1 (\beta^{-1} w)^n) = (w^m, \beta_1 \beta^{-n} w^n) = (w^m, \beta_2 w^n),$$ entonces cada punto en la curva parametrizada por $w$ está en la curva parametrizada por $z$. Dado $z$, fije $w = \beta z$ para obtener la inclusión inversa. Esto completa la prueba del primer enunciado.

Para probar el segundo, asumamos que las dos curvas se intersectan. Así que tenemos igualdad $(z^m, \beta_1 z^n) = (w^m, \beta_2 w^n)$. A partir de la ecuación $z^m = w^m$, concluimos que $z = \beta w$ donde $\beta$ es una raíz $|m|$-ésima de la unidad. Sustituyendo esto en la segunda ecuación $\beta_1 z^n = \beta_2w^n$, encontramos que $\beta_1 (\beta)^n w^n = \beta_2 w^n$, de modo que $\beta_1 (\beta)^n = \beta_2$. $\square$

Una forma de interpretar esto es la siguiente. El conjunto de raíces $|m|$-ésimas de la unidad es isomorfo (como grupo) a $\mathbb{Z}_m$. Tenemos un subgrupo $n\mathbb{Z}_m$ (que es automáticamente normal) dado por todos los elementos de la forma $n\cdot x$ con $x\in \mathbb{Z}_m$. Entonces la Proposición $2$ dice que la solución de la ecuación $z_1^n = z_2^m$ consiste en curvas cerradas disjuntas, donde los componentes conectados del conjunto solución están en biyección con $\mathbb{Z}_m/H_n$. Por lo tanto, para contar los componentes conectados, es necesario determinar el orden de $\mathbb{Z}_m/H_n$.

Pero, para hacer esto, solo necesitamos determinar el orden de $H_n$. Para ello, note que $H_n$ es cíclico generado por $n$ (ya que $H_n$ es la imagen homomórfica de $\mathbb{Z}_m$ bajo el mapeo "por $n$ veces".) El orden de $H_n$ es por lo tanto el orden de $n\in \mathbb{Z}_m$. De, por ejemplo, esta pregunta de MSE, el orden es $\frac{m}{\gcd(m,n)}$. Por lo tanto, el orden de $\mathbb{Z}_m/H_n$ es $\frac{m}{\frac{m}{\gcd(m,n)}} = \gcd(m,n)$.