¿Por qué una base de filtro define de manera única un filtro?

Question

¿Por qué una base de filtro define de manera única un filtro?

Definimos la base del filtro $\mathcal B$ del filtro $\mathcal F$ como:

$\forall F \in \mathcal F \ \exists \ B \in \mathcal B: B\subset F$

Entonces, ¿por qué $\mathcal B$ puede ser la base de filtro de como máximo un filtro?

Answer 1

Sean $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ dos filtros que tienen a $\mathcal{B}$ como base.

Recordemos nuevamente que $\mathcal{F}$ tiene a $\mathcal{B}$ como base si $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}$ y $\forall F \in \mathcal{F} \exists B \in \mathcal{B} : B \subseteq F$

Entonces $F \in \mathcal{F}_1$ significa que existe un $B \in \mathcal{B}$ tal que $B \subseteq F$. Pero como $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}_2$ también, los axiomas del filtro implican que $F \in \mathcal{F}_2$ también. Esto muestra que $\mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2$ y la inclusión inversa se demuestra de manera simétrica. Por lo tanto, la igualdad se sigue.