No se puede obtener la descomposición en fracciones parciales.

Question

Me gustaría demostrar que: $$ L = (\frac{1+z^{-1}}{1+0.5z^{-1}} ) \cdot (\frac{1}{1-z^{-1}}) = \frac{0.166}{z + 0.5} + \frac{1.33}{z - 1} + 1$$

¿Cómo llego de izquierda a derecha? El mismo problema tiene otra solución que logro obtener $L = \frac43\frac{z}{z-1} - \frac13\frac{z}{z + 0.5}$(y es lo suficientemente bueno para resolver el problema de ingeniería) pero quiero entender cómo llegar a la primera

Answer 1

Primero, escribe la expresión como una razón de polinomios expandidos en la forma más simple, es decir, $$ \frac{2z^2+2z}{2z^2-z-1}. $$ Luego, usa la división larga para encontrar el cociente y el resto de $\frac{2z^2+2z}{2z^2-z-1}$ y luego reescríbelo como el cociente más el resto sobre el denominador, de la siguiente manera $$ 1+\frac{3z+1}{2z^2-z-1}. $$ Por lo tanto, solo tenemos que encontrar la descomposición en fracciones parciales de $\frac{3z+1}{2z^2-z-1}$. Para hacerlo, factoriza el denominador en términos lineales y cuadráticos irreducibles y iguala a la forma de expansión en fracciones parciales $$ \frac{3z+1}{(z-1)(2z+1)}=\frac{\theta_1}{z-1}+\frac{\theta_2}{2z+1}. $$ Multiplicando ambos lados por $(z-1)(2z+1)$ y reescribiendo la identidad anterior obtenemos $$ 3z+1=\theta_1-\theta_2+z(2\theta_1+\theta_2). $$ Finalmente, igualando los coeficientes de ambos lados obtenemos el siguiente sistema $$ \begin{cases} 1=\theta_1-\theta_1\\ 3=2\theta_1+\theta_2 \end{cases} $$ lo cual nos da $\theta_1=\frac43$ y $\theta_2=\frac13$. Por lo tanto, $$ \left(\frac{1+z^{-1}}{1+0.5z^{-1}} \right)\left(\frac{1}{1-z^{-1}}\right)=1+\frac{4}{3(z-1)}+\frac{1}{3(2z+1)}=1+\frac{1.(3)}{z-1}+\frac{0.1(6)}{z+0.5}. $$ Nota que $\frac43=1.333...=1.(3)$ y $\frac{1}{6}=0.1666...=0.1(6)$.