¿Qué pretende la derivada exterior?

Question

$\newcommand{\R}{\mathbf R}$ Consideremos una función suave $f:\R^n\to\R$ y que $Df:\R^n\to \R^{n*}$ sea el mapa que toma un punto $\mathbf a\in R^n$ al mapa lineal $Df_{\mathbf a}:\R^n\to \R$ .

Se trata de un mapa suave cuya derivada en un punto puede considerarse como un mapa multilineal de $\R^n\times \R^n\to \R$ cuya representación matricial (con respecto, por ejemplo, a la base estándar) tendrá segundas derivadas parciales.

Por otro lado, el mapa $Df$ puede considerarse como un $1$ -formar en $\R^n$ ya que en cada punto $\mathbf a\in \R^n$ tenemos una función $Df_{\mathbf a}$ . Explícitamente, este $1$ -se puede escribir como $$\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$$

La derivada exterior de esto es $0$ .

Por tanto, hay una gran diferencia entre la noción de derivada (¿habitual?) y la de derivada exterior.

Si me pidieran que dijera algo sobre lo que la derivada habitual intenta captar, diría que la derivada es la generalización natural de la derivada de un mapa de $\R$ a $\R$ . Una función suave $f:\R^n\to \R^m$ en un punto cualquiera del dominio se comporta lo más parecido a un mapa lineal, la derivada, en una vecindad suficientemente pequeña del punto dado.

Pero no intuyo cuál es la idea de la derivada exterior.

¿Puede alguien decir algo sobre esto y sobre cómo la idea de la derivada exterior nos ayuda a formalizar la verdad del teorema de Stokes?

Gracias.

Answer 1

La derivada exterior es exactamente lo que necesitas en el teorema fundamental del cálculo, una vez que empiezas a llevarlo a dimensiones superiores. Revisemos la forma unidimensional: $$f(b)-f(a) = \int_a^b f'(x)\,dx$$ La expresión que ves a la izquierda es secretamente la integral de $f$ sobre el límite orientado hacia el exterior del intervalo $(a,b)$ . En efecto, este límite está formado por dos puntos $\{a,b\}$ de los cuales $b$ recibe el signo más (la dirección hacia afuera es positiva allí) y $a$ recibe el signo menos (la dirección de salida es negativa). El FTC dice que la integral de frontera de $f$ es igual a la integral interior de $f'$ .

Llevar esto a dimensiones superiores significa sustituir el intervalo $(a,b)$ por un conjunto abierto $\Omega$ (o más generalmente, por un colector), y $\{a,b\}$ por su límite orientado $\partial \Omega$ .

Para simplificar, consideremos dos dimensiones $\Omega$ , digamos, un disco en $\mathbb{R}^2$ . Entonces $\partial \Omega$ es un círculo orientado. Podemos integrar una forma 1 $f=pdx+qdy$ sobre esta cosa. Lo que debería estar en el otro lado, en la integral sobre $\Omega$ ¿se trata de la misma? La derivada exterior $df = (q_x-p_y)dx\wedge dy$ - esto es lo que dice el teorema de Green.

El hecho de que $df=0$ cuando $f=dg$ es bastante natural, ya que $dg$ se integra a cero en curvas cerradas. Además, el hecho de que la derivada exterior sea una contrapartida de la frontera operador $\Omega\to\partial \Omega$ presenta este paralelo:

• la derivada exterior de cualquier forma tiene derivada exterior cero
• el límite de cualquier colector (con límite) es un colector sin límite