¿Por qué tiene tanta importancia la serie de Taylor en cálculo?
Me gustaría conocer algunas ideas detrás de la serie de Taylor.
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marty cohen
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Los polinomios son uno de los tipos más simples de funciones que existen. Están cerrados bajo la adición, multiplicación, integración y diferenciación.
Las series de Taylor permiten aproximar una función en términos de polinomios de un grado específico. Esto da una buena indicación de cómo se comporta la función localmente.
Hay que tener en cuenta que la serie de Taylor de grado 1 es simplemente la tangente.
Cuanto más términos tenga la serie de Taylor, más ajustada estará la serie a la función en el punto donde se calcula la serie.
Este es un comienzo. Hay mucho más.
También investiga la aproximación de Chebychev.
Michael
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Las series de Taylor utilizan derivadas en todas partes (esa es una de las razones por las que involucran cálculo). Es interesante saber que los valores de una función $f(x)$ pueden aproximarse utilizando solo información de derivadas en $x=0$. Para una amplia colección de funciones, la aproximación tiene una precisión cada vez mayor a medida que se utiliza más información de derivadas:
$$f(x) \approx f(0) + xf’(0) + \frac{x^2}{2}f’’(0) + … + \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)$$
Ejemplo (recordemos que $e^0=1): \begin{align} &e^{0.1} \approx e^0 + (0.1)e^0 = 1.1\\ &e^{0.1} \approx e^0 + (0.1)e^0 + \frac{(0.1)^2}{2}e^0 = 1.105\\ &e^{0.1} \approx e^0 + (0.1)e^0 + \frac{(0.1)^2}{2}e^0 + \frac{(0.1)^3}{3!}e^0 = 1.105166666666667\\ &e^{0.1} \approx 1 + .1 + \frac{(.1)^2}{2} + \frac{(.1)^3}{3!} + \frac{(.1)^4}{4!} = 1.105170833333333 \end{align}
Las aproximaciones convergen hacia la respuesta verdadera $e^{0.1} = 1.105170918075648…$.
En el límite (en casos donde se aplica la expansión de Taylor) obtenemos que $f(x)$ puede ser exactamente escrito como una suma infinita de funciones polinómicas. Esto es útil para entender $f(x)$ de manera más simple. Por ejemplo, diferenciar o integrar $f(x)$ puede hacerse simplemente diferenciando o integrando cada término, lo cual implica diferenciar/integrar funciones polinómicas, que es fácil.
Sea $f(t)$ la ubicación de un auto en el tiempo $t$. Si conoces dónde está el auto en el tiempo $t=0$, y conoces su velocidad $v(0) = f'(0)$, entonces puedes predecir con precisión dónde estará en un tiempo ligeramente posterior: $$ f(t) \approx f(0) + f'(0)t = f(0) + v(0)t $$ Si conoces tanto la velocidad como la aceleración $a(0)=f''(0)$, entonces puedes aproximar de manera más precisa: $$ f(t) \approx f(0) + f'(0)t + \frac{f''(0)}{2}t^2 = f(0)+v(0)t + \frac{a(0)t^2}{2} $$ Puedes ver cómo esto sería útil, por ejemplo, en un sistema de control robótico que necesita predecir dónde estará el robot en un segundo dado su ubicación actual, velocidad y aceleración.
