Estoy hablando sobre el álgebra sigma del producto de dos álgebras. Creo que teníamos la afirmación en la clase, así que debería ser cierto. Sin embargo, no puedo recordar completamente la prueba y necesito algo de ayuda para encontrarla.
Deje que $\mathcal A$ sea el conjunto de todas las uniones contables de rectángulos disjuntos con lados medibles. Basta con mostrar que $\mathcal A$ es un $\sigma$-álgebra. Sin embargo, el paso que no logro entender es demostrar que $\mathcal A$ está cerrado bajo la complementación. Según recuerdo, la prueba se desarrolló así: Deje que $A=\bigcup_iR_i$ sea una unión contable de rectángulos disjuntos. Entonces $A^\complement=\bigcap_iR_i^\complement$. Puedo demostrar que $R_i^\complement\in\mathcal A$ y que las intersecciones finitas de ellos también están en $\mathcal A$. Pero no entiendo por qué se supone que las intersecciones contables de los $R_i^\complement$ deben estar en $\mathcal A$.
Aunque no estoy 100% seguro de que la prueba realmente se desarrolló de esta manera.
