Los operadores de Hecke conmutan

Question

Estoy tratando de demostrar que los operadores de Hecke $T_m$ y $T_n$ conmutan para cualquier $m, n\in\mathbb{Z}$. Sé que $T_m$ es simplemente un polinomio en los $T_{p_i^{r_i}}$, para $m = \Pi_i p_i^{r_i}$, así que solo necesito demostrar que $T_{p^r}$ y $T_{q^s}$ conmutan para primos $p,q$ y $r,s\in\mathbb{N}$.

Sé cómo demostrar que conmutan para $r=s=1$ pero realmente no sé cómo hacerlo en este caso más avanzado.

Answer 1

Por la fórmula recursiva $$ T_{p^{r+1}} = T_{p^r}T_p - \langle p \rangle p^{k-1}T_{p^{r-1}} $$ el operador de Hecke $T_{p^r}$ puede expresarse como un polinomio en $T_p$ y $\langle p \rangle$, por lo que basta con demostrar que $T_p$, $T_q$, $\langle p \rangle$ y $\langle q \rangle$ conmutan. Ya sabes que $T_p$ y $T_q$ conmutan, por lo que basta con demostrar que los operadores del tipo $T$ conmutan con los operadores de diamante, lo cual se puede hacer directamente.