Me encontré con un problema de optimización como \begin{equation*} \underset{\{\theta_i\}_{i=1}^n}{\max}\quad\left\Vert\mathbf{y}+\sum_{i}^ne^{\jmath\theta_i}\mathbf{x}_i\right\Vert, \end{equation*} donde $\mathbf{x}_i$ y $\mathbf{y}$ son vectores de $m$ dimensiones. Me pregunto si existe una solución óptima global para este problema.
Respuesta
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El conjunto de números complejos de la forma $e^{\imath \theta}$ son exactamente los números complejos cuyo valor absoluto es $1$. Por lo tanto, tu problema de optimización se puede escribir como $$ \begin{aligned} \max_{\mathbf{z}} &\quad \| \mathbf{X} \mathbf{z} + \mathbf{y} \| \\ \text{s.t.} &\quad |z_i| = 1 &i = 1, \dots, n \end{aligned} $$ donde $\mathbf{X}$ es la matriz cuyas columnas son los vectores $\mathbf{x}_i$. Al observar las variables de decisión reales $\Re(z_i)$ y $\Im(z_i)$, este es un problema de optimización muy difícil que no tiene un método conocido de solución óptima global, excepto quizás por métodos de ramificación y acotamiento (que pueden ser muy lentos).
