¿Tiene algo que ver con que G sea un grupo abeliano finito, que sea un producto directo de su subgrupo lento?
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Steve Smith
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2633
No sé si el Teorema de Estructura para Grupos Abeliano Finitamente Generados está "sobre la mesa", por así decirlo, pero esta respuesta lo usa de todos modos.
Además, asumo que quisiste decir que $H$ es no trivial, en lugar de propio, de lo contrario la afirmación a probar ni siquiera es verdadera.
Según ese teorema, tu grupo finito $G$ es un producto directo de grupos cíclicos $G_1, G_2, \ldots, G_k$: tenemos $$G = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_k.$$
Ahora supongamos que $k \geq 2$ y tenemos algún subgrupo $H \leq G$ que está contenido en cada subgrupo (propio) de $G$. Bueno, $$G_1 \times \{1\} \times \ldots \times \{1\}$$ es un subgrupo de $G$, y por lo tanto debe contener a $H$; pero también $$\{1\} \times \ldots \times \{1\} \times G_k$$ es un subgrupo de $G$, y por lo tanto contiene a $H$. Pero los dos subgrupos $G_1 \times \{1\} \times \ldots \times \{1\}$ y $\{1\} \times \ldots \times \{1\} \times G_k$ se intersecan trivialmente, por lo que $H$ debe ser trivial.
Por lo tanto, vemos que si un grupo no trivial $H \leq G$ está contenido en cada subgrupo de $G$, entonces necesariamente $k = 1$, ya que de lo contrario, según el argumento anterior, tendríamos que $H$ sea trivial, lo cual es una contradicción. Entonces $G = G_1$, que es un grupo cíclico.
cronos2
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82
Supongamos que $G$ no es cíclico. Entonces, para $a \in G : a \ne 1$ (notación multiplicativa) $\exists b \in G : b \notin \langle a \rangle$ y trivialmente $b \ne 1$. Entonces $\{1\} < \langle b \rangle < G$ (estamos asumiendo que $G$ no es cíclico). Por lo tanto $$\exists H: H \le \langle a \rangle, H \le \langle b \rangle, 1 < H < G$$ Pero entonces $H \le \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{1\}$ (demuéstralo) $\implies H = \{1\}$
user1998586
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141
La retícula de subgrupos de $G$ es auto dual. Por lo tanto, también existe un subgrupo propio $H'$ de $G$ que contiene a todos los demás subgrupos propios.
Ahora toma un elemento $a$ de $G$ que no está en $H'$. El subgrupo generado por $a$ no está contenido en $H'$, por lo que debe ser $G$, por lo tanto, $G$ es cíclico con generador $a`.
