Problema al encontrar el Jacobiano al calcular la densidad

Question

Tengo problemas para encontrar el Jacobiano al intentar calcular una distribución. Si $(X,Y)$ es un punto en un disco unitario con radio $1$, me gustaría encontrar la densidad de la distancia entre el punto y el centro del disco.

Entonces, la función de densidad conjunta de $X$ e $Y$ es

$$ f_{XY}(x,y) = \begin{cases} 1/\pi, & x^2 + y^2 \leq 1,\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases}. $$

Pongo $U = \sqrt{X^2+Y^2}$ y utilizo una variable aleatoria auxiliar $V = \mathrm{arctan}(Y/X).$ Entonces hay un mapeo de 2 a 1.

Ahora me pregunto cuál podría ser el Jacobiano. O, bueno, el libro me dice que es $u$, pero no sé cómo llegar allí por mi cuenta. Usando wolfram alpha (admito que probablemente solo lo estoy usando mal) obtengo la respuesta $0$, no $u.

Normalmente, trabajar con variables auxiliares más simples me ha ayudado a calcular el Jacobiano para otros problemas, pero en este caso se me aconseja usar $\mathrm{arctan}(Y/X)$ y eso podría ser lo que hace que esto sea tan difícil para mí.

Answer 1

Solución completa, usando el delta de Dirac: $$ p_U(u)=\int_D dx dy \frac{1}{\pi}\delta\left(u-\sqrt{x^2+y^2}\right)\ . $$ Realizando un cambio a coordenadas polares $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$, cuyo Jacobiano es $=r$, $$ p_U(u)=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 dr\ r\ \delta(r-u)=2u\qquad 0\leq u\leq 1\ , $$ que está correctamente normalizado, $\int_0^1 du\ p_U(u)=1$.

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Sobre el Jacobiano, no estoy seguro cuál es el problema [y tampoco estoy seguro acerca de la afirmación 'de 2 a 1' que hiciste...tenías dos variables $X,Y$ e introdujiste otras dos variables $U,V$]. El Jacobiano entre las variables antiguas $(X,Y)$ y las nuevas $(U,V)$ es $$ \det\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ -\frac{y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{u} $$ (obviamente, entonces, el Jacobiano entre las nuevas variables y las antiguas es $u$).