Encuentre la dimensión del espacio de todos los mapas lineales de $\Bbb R^{13}$ a $\mathbb R^{31}$

Question

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^{13}$ de dimensión $6$ y $W$ un subespacio de $\Bbb R^{31}$ de dimensión $29$. ¿Cuál es la dimensión del espacio de todos los mapas lineales de $\Bbb R^{13}$ a $\mathbb R^{31}$ cuyo núcleo contiene a $V$ y cuya imagen está contenida en $W$?

Aquí, $\dim(V)=6$ y $\dim(W)=29$. Además, $V\subset \ker(T)$ y $\text{Im}(T) \subset W.

Entonces, $\dim(\text{Im}(T))\le 29$ y $\dim(\ker(T))\ge 6.

Ahora, $\dim(\ker(T))+\dim(\text{Im}(T))=13=\begin{cases}6+7\\7+6\\8+5\\9+4\\10+3\\11+2\\12+1\end{cases}$

Entonces hay $7$ casos. Por lo tanto, la dimensión del espacio de todos los mapas lineales de $\Bbb R^{13}$ a $\mathbb R^{31}$ es $7$.

¿Es correcto o hay algo mal?

Answer 1

Una mejor manera de verlo: piensa en los espacios vectoriales como grupos, e intenta entender cómo funcionarían los teoremas de isomorfismo.

Cualquier mapa de $\mathbb R^{13} \to \mathbb R^{31}$ con $V$ contenido en el núcleo, es un mapa de $\dfrac {\mathbb R^{13}}V \to \mathbb R^{31}$.

Similarmente, si la imagen está contenida en $W$, entonces esto es solo un mapa de $\dfrac {\mathbb R^{13}}V \to W.

Ahora, como $\dfrac{R^{13}}{V} \cong \mathbb R^7$, básicamente estamos viendo mapas de $\mathbb R^7$ a $\mathbb R^{29}$, sin restricciones.

Ahora, sabemos que este conjunto es isomorfo al conjunto de todas las matrices con dimensión $29 \times 7$. La base para tal conjunto de matrices es simplemente la siguiente: una matriz vacía excepto por una entrada no nula, variando en todas las posibles entradas.

Sin embargo, hay $29 \times 7 = 203$ entradas, por lo tanto se sigue que la dimensión del conjunto de todos los mapas lineales con las restricciones dadas es en realidad $203$.

Answer 2

Para aclarar las cosas (las respuestas correctas ya han sido proporcionadas) y para entender lo que se necesita, es más fácil pensar en términos de las matrices correspondientes.

Construyamos la matriz de una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{13} \rightarrow \mathbb{R}^{31}$ que se ajuste a tu descripción.

Sea $(u_{1},...,u_{13})$ la base canónica de $\mathbb{R}^{13}$ y consideremos sin pérdida de generalidad que $V = span(u_{1},...,u_{6})$.

De manera similar, sea $(v_{1},...,v_{31})$ la base canónica de $\mathbb{R}^{31}$ y consideremos que $W = span(v_{1},...,v_{29})$.

La representación matricial de $f$ tiene 13 columnas y 31 filas, la $i^{th}$ columna correspondiente a la imagen de $u_{i}$ es decir, y perdón por decir lo obvio, si $f(u_{1}) = \sum_{j = 1}^{31}a_{j}.v_{j}$ entonces la primera columna será

$$\begin{pmatrix} a_{1}\\ .\\ .\\ .\\ a_{31} \end{pmatrix}$$

Ahora necesitas $V \subseteq Ker(f)$ lo que significa que las primeras 6 columnas (correspondientes a la imagen de $(u_{1},...,u_{6})$) deben ser cero. También necesitas $Im(f) \subseteq W$ lo que significa que las últimas dos filas deben ser cero. La Matriz $A$ se ve así:

$$A= \left[ \begin{array}{c|c} 0 & B \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right]$$

Donde los ceros inferiores son 2 filas de ceros y $B$ tiene ($29$ filas $\times$ $7$ columnas).

La dimensión del espacio de las aplicaciones lineales correspondientes es simplemente el tamaño de $B$ que es $203$ (una base posible está formada por matrices con solo un elemento de $B$ que sea igual a $1$).

Answer 3

No, está mal. Por ejemplo, puedo crear $29$ mapas independientes: supongamos que $w_1, w_2, \ldots w_{29}$ abarcan $W$, y $v_1, \ldots v_6$ abarcan $v$ que se extiende por $v_7, \ldots v_{13}$ hasta una base de $\mathbb{R}^{13}$. Luego tomamos $v_1\rightarrow 0$, $v_2\rightarrow 0, \ldots v_{12}\rightarrow 0$, y $v_{13}\rightarrow w_i$ para $i=1, 2, \ldots 29$.

¿Puedes extender esto para dar $7\cdot 29$ mapas lineales independientes? ¿Es esto todo?