Si $AB=AC \implies B=C$, entonces $A$ es invertible

Question

Por lo tanto, queremos demostrar la siguiente afirmación (para matrices $A, B, C$)

$A$ es invertible $\iff (AB=AC \implies B=C)$

Probar el lado $\Rightarrow$ no es difícil, pero estoy teniendo problemas con el lado $\Leftarrow$. Este es mi intento:

$(AB=AC \Rightarrow B=C) \Leftrightarrow \exists X, Y$ tal que $XAB=B$ y $YAC =C$.

$XAB = B \Leftrightarrow XAI = I \Rightarrow XA = I \Rightarrow XI = IA^{-1} \Rightarrow X=A^{-1}$

De manera similar encontramos que $Y=A^{-1} = X$, por lo que hemos demostrado el lado $\Leftarrow$.

¿Es esta prueba correcta? Especialmente tengo dudas en el primer paso.

Answer 1

Hay que tener en cuenta que para aplicaciones lineales $$AC=AB\Rightarrow B=C$$ significa que $A$ es inyectiva. Para ver esto, considere cualquier $B, C$ que difieran solo en su restricción a $\ker A$, entonces $AC=AB$, pero $B\not=C$ a menos que $\ker A=0$.

Los endomorfismos inyectivos de espacios vectoriales son isomorfismos, por lo que $A$ es invertible.

Answer 2

Sea $AB=AC=D$

$ (AB=AC=D \implies B=C) \iff AX=D \ $ tiene solo una solución.

$\iff A(x_1,x_2,...,x_n)=(d_1,d_2,...,d_n)\ \ $ tiene solo una solución.

$\iff Ax=d_1,Ax=d_2,...,Ax=d_n\ $ todas tienen solo una solución.

$\iff A\ $ es invertible