¿Existe una relación entre $\|X\|_2 ^2$ y $(\sum_i x[i])^2$?

Question

¿Existe una relación conocida entre $\|X\|_2 ^2$ y $(\sum_i x[i])^2$, donde $X$ es un vector en el espacio real, $\|\cdot\|_2$ es la norma 2, y $\sum_i x[i]$ es la suma de los elementos del vector $X$.

Answer 1

La desigualdad de Cauchy (posteriormente generalizada por Buniakovski y por Schwarz, ver AQUÍ) dice $$ \left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right) \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^2\right) . $$ Si tomamos $y_i=1$ para todos los $i$, obtenemos $$ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 \le n\;\sum_{i=1}^n |x_i|^2 = n \|X\|_2^2 . $$

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Solo por diversión, permíteme agregar: la desigualdad de Buniakovski $$ \left(\int_a^b f(t)g(t)\;dt\right)^2 \le \left(\int_a^b |f(t)|^2\;dt\right) \left(\int_a^b |g(t)|^2\;dt\right) $$ La desigualdad de Schwarz: si $\langle \cdot,\cdot \rangle$ es un producto interno, entonces $$ \langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle \le \|\mathbf x\|\;\|\mathbf y\| , $$ donde la norma $\|\mathbf x\|$ está definida como $\langle \mathbf x, \mathbf x\rangle^{1/2}$.

Answer 2

Sí, hay una relación. Si $x \in \mathbb{R}^n$ entonces

$ \displaystyle 0 \le \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \le n \| x \|^2 $

Para demostrar esto, nota que

$ \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = \mathbf{1}^T x $

donde $\mathbf{1} \in \mathbb{R}^n$ y $\mathbf{1} = [1, 1, \dots, 1]^T $.

Por lo tanto,

$ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 = x^T {\mathbf{1} \mathbf{1}}^T x $

Es fácil mostrar que los valores propios de la matriz simétrica ${\mathbf{1} \mathbf{1}}^T $ son $\lambda_{Min} = 0 $ y $\lambda_{Max} = n $. De las propiedades de las formas cuadráticas, se sigue la desigualdad dada anteriormente.

Answer 3

Si asumes la norma 2 (es decir: $\|X\|_2^2=\sum\limits_{i=1}^n X_i^2$), tu vector $X \in \mathbb{R}^n$, y si por $\sum X$ te refieres a $\sum\limits_{i=1}^n X_i$, entonces la siguiente relación parece ser la única natural que se me ocurre: $$ \left(\sum X\right)\cdot \left(\sum X\right) = (X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \cdot (X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_n^2 + X_1 X_2 + \ldots + X_{n-1}X_n = \|X\|_2^2 + \sum\limits_{i \neq j}X_iX_j,~\text{where }i,j\in \underline{n} $$