Sea $M=\mathbb R^n$ y define para cada $x\in \mathbb R^n$, define $$\langle v,w\rangle_x= \langle v,w\rangle_0$$ donde $v,w\in T_x\mathbb R^n\equiv \mathbb R^n\equiv T_0\mathbb R^n$. Por lo tanto vemos que $M=\mathbb R^n$, admite métricas constantes.
¿Hay algún otra variedad (distinta de $\mathbb R^n$) que admita métricas constantes...
Una conjetura podría ser que los grupos de Lie admiten una métrica constante. ¿Hay algún otro ejemplo.
Estoy interpretando tu "admite métricas constantes" de la siguiente manera: Cualquier punto $p\in M$ tiene un entorno $U$ con coordenadas locales $(u_i)_{1\leq i\leq n}$ tales que en términos de los $u_i$ el tensor métrico $g_{ik}$ es constante. Esto significa que cualquier punto $p$ tiene un entorno $U$ que es isométrico a una bola euclidiana de $n$ dimensiones.
Ejemplos de tales variedades se pueden producir de la siguiente manera: En $\Bbb R^n$, provisto con la métrica euclidiana estándar, toma $r$ vectores linealmente independientes $a_1$, $\ldots$, $a_r$ y llama a dos puntos $x$, $y\in\Bbb R^n$ equivalentes si $$y-x=\sum_{k=1}^r j_k \>a_k,\qquad j_k\in{\mathbb Z}\quad (1\leq k\leq r)\ .$$ Es fácil comprobar que $M:=\Bbb R^n{/}\!\sim\ $ tiene la propiedad deseada. Cuando $r=n$ entonces $M$ es compacta y se llama un toro plano $n$-dimensional.
Estoy interpretando la pregunta de manera diferente: Es decir, ¿cuándo puedo usar exactamente lo que hiciste para definir una métrica?
El problema es que no siempre puedes hacer una identificación bien definida del espacio tangente en un punto con el espacio tangente en otro. Entonces, decir que $v \in T_p M$ "corresponde" a $v' \in T_q M$ no siempre tiene sentido.
Por ejemplo, en $S^2$, dado un vector tangente distinto de cero en el polo norte, debería quedar claro que si esto "corresponde" a algo, debería "corresponder" a algo distinto de cero. Entonces, una "correspondencia" con cada punto en $S^2$ no es más que un campo vectorial en $S^2$ que no se anula en ningún lugar. Desafortunadamente, el Teorema de la bola peluda establece que no existe tal campo vectorial.
La clase de variedades que estás buscando son las llamadas Variedades paralelizables. Estas son precisamente aquellas variedades para las cuales el haz tangente admite una trivialización global. Después de elegir tal trivialización, elige cualquier base para el espacio tangente en algún punto en particular. Luego, mediante la trivialización, esto define una base en cada punto de tu variedad y esto te da una forma de identificar los espacios tangentes en diferentes puntos.
Quiero enfatizar que esto es muy no canónico - debes elegir una trivialización y una base. Diferentes elecciones darán lugar a diferentes métricas riemannianas con diferentes propiedades.
Las variedades paralelizables incluyen $\mathbb{R}^n$ y todos los grupos de Lie, como habías supuesto, pero también contienen muchas más variedades. Por ejemplo, $S^7$ no es un grupo de Lie, pero es paralelizable. Además, el producto de cualquier esfera con una esfera de dimensión impar es paralelizable.
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