Podría afectar al clima, pero no en la escala de tiempo de un mes, y no afecta significativamente al tiempo.
El hecho de que exista la luna puede estabilizar significativamente la inclinación de la Tierra con respecto al Sol. Esto, a su vez, afecta al clima a largo plazo. El debate está en curso. Por ejemplo, ver inclinación axial a largo plazo (Wikipedia):
La Luna tiene un efecto estabilizador en la oblicuidad de la Tierra. El análisis del mapa de frecuencia sugiere que, en ausencia de la Luna, la oblicuidad puede cambiar rápidamente debido a resonancias orbitales y al comportamiento caótico del Sistema Solar, llegando hasta los 90° en tan solo unos pocos millones de años. Sin embargo, simulaciones numéricas más recientes sugieren que incluso en ausencia de la Luna, la oblicuidad de la Tierra podría ser considerablemente más estable, variando solo alrededor de 20-25°. El efecto estabilizador de la Luna continuará durante menos de 2 mil millones de años. Si la Luna continúa alejándose de la Tierra debido a la aceleración de las mareas, pueden ocurrir resonancias que provocarán grandes oscilaciones de la oblicuidad.
También existen mareas atmosféricas, pero las mareas atmosféricas lunares son muy débiles. Detectar una señal lunar en los patrones meteorológicos puede ser difícil, porque otras señales son mucho más grandes, y también hay ruido. Entonces, si tu amigo piensa que solo ha hecho buen tiempo durante las lunas llenas, eso es o bien una coincidencia o un sesgo de confirmación.
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Hay mucho folclore sobre la influencia de la luna en el clima, por ejemplo :almanac.com/content/moon-lore-weather. Grecia es una nación de principalmente pescadores y marineros, por ejemplo : se espera que el clima cambie con cada cuarto de luna seco/húmedo frío/caluroso ventoso/tranquilo.