¿Es $C(\mathbb R)$ completo?

Question

Estoy tratando de demostrar un ejercicio del capítulo 10 del libro de Carthers de Análisis Real, problema reclamado como,

donde $C(\mathbb R)$ denota el espacio de la norma del infinito de todas las funciones continuas en la recta real.

Intenté usar la pista. Sin embargo, obtuve un contraejemplo que probablemente funcione para $C([-n,n])$ incompleto. Es decir: $f_n(x) = x^{2n}$ no converge a una función continua en $C([-1,1])$. ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Sea $(f_n)$ una secuencia de Cauchy en $C(\Bbb R)$, y definamos $\Phi : [0, \infty) \to \Bbb R$ por la ecuación $\Phi(u) = \frac{u}{1+u}$. Dado $\epsilon > 0$, existe un entero positivo $N$ tal que $\|f_n - f_m\| < \epsilon$ para todo $n, m \ge N$. Así, para cada $k$, $\Phi(\|f_n - f_m\|_{C[-k,k]}) < \epsilon$ para todo $n, m > N$. Dado que $\Phi$ es estrictamente creciente, entonces para cada $k$, $\|f_n - f_m\|_{C[-k,k]} < \epsilon$ para todo $n, m \ge N$. Por lo tanto $(f_n)$ es de Cauchy en $C[-k,k]$ para todo $k$. Dado que $C[-k,k]$ es completo, existe un $g_k \in C[-k,k]$ tal que $f_m \to g_k$ uniformemente en $C[-k,k]$. Los $g_k$ definen una función continua $g\in C(\Bbb R)$.

Escoge un entero positivo $n_0$ tal que $\sum_{k=n_0+1}^\infty \frac{1}{2^k} < \epsilon$. La función $\Phi$ está acotada por $1$ de modo que $$\|f_n - g\| \le \sum_{k = 1}^{n_0} 2^{-k}\|f_n - g\|_{C[-k,k]} + \sum_{k = n_0 + 1}^\infty \frac{1}{2^k} \le \sum_{k = 1}^{n_0} 2^{-k}\|f_n - g_k\| + \epsilon$$ Dado que $\|f_n - g_k\|_{C[-k,k]} \to 0$ cuando $n \to \infty$ para cada $k$, se sigue que $$\limsup_{n \to \infty} \|f_n - g\| \le \epsilon$$ Dado que $\epsilon$ es arbitrario, $f_n \to g$ en $C(\Bbb R)$.

Answer 2

Creo que Carothers quería que el lector usara la métrica para $C(\mathbb{R})$ que se definió anteriormente en el libro: $$d(f,g) = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k}\frac{d_k(f,g)}{1+d_k(f,g)}$$ donde $$d_k(f,g) = \max_{\lvert x\rvert \leq k}\lvert f(x) - g(x)\rvert$$

La demostración seguiría así:

Sea $f_n$ una sucesión de Cauchy en $C(\mathbb{R})$.

Ahora, para cualquier $\alpha \in \mathbb{N}$, supongamos que $f_n$ no era de Cauchy en $[-\alpha, \alpha]$ bajo la norma del supremo. Entonces existe un $\epsilon > 0$ tal que para todo $N \in \mathbb{N}$ existen $n, m > N$ tales que $\max_{\lvert x\rvert \leq \alpha}\lvert f_n(x) - f_m(x)\rvert\geq \epsilon$. Entonces tendríamos que con este $\epsilon$, para todo $N \in \mathbb{N}$ existen $n, m > N$ tales que \begin{align*}d(f_n,f_m) = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k}\frac{d_k(f_n,f_m)}{1+d_k(f_n,f_m)} \geq 2^{-\alpha}\frac{d_{\alpha}(f_n,f_m)}{1+d_{\alpha}(f_n,f_m)} &= 2^{-\alpha}\frac{\max_{\lvert x\rvert \leq \alpha}\lvert f_n(x) - f_m(x)\rvert}{1+\max_{\lvert x\rvert \leq ...