Poliedros acotados cerrados bajo rotación, intersección y complemento

Question

¿Existen tipos conocidos de poliedros acotados, que existan en todas las dimensiones euclidianas, y que sean cerrados bajo intersección, rotación y complemento relativo? En otras palabras, estoy buscando un conjunto de poliedros $P$, donde $p \in P \subset \mathbb{R}^d$, y P sea cerrado bajo rotación, intersección, y complemento relativo.

Creo que esto es poco probable, así que también estoy interesado en ver si hay algún $P$ donde la intersección o el complemento de dos elementos en $P$, pueda descomponerse de manera eficiente y exacta en un número finito de elementos de $P.

Answer 1

Un poliedro convexo acotado arbitrario $p$ es la intersección de finitamente muchos semiplanos. Dado que $p$ está acotado, cada uno de esos semiplanos puede ser reemplazado por una copia escalada y rotada de tu poliedro favorito $q$, alineando una de sus caras con el semiplano y luego agrandándola para contener a $p$. Así que cualquier $p$ es la intersección de copias rotadas y lo suficientemente grandes de $q$. Encoge toda la configuración para devolver los $q$ a su tamaño original, y obtenemos una copia pequeña de $p.

En otras palabras, si tu colección de poliedros no es vacía (contiene a $q$, donde $q$ era arbitrario), también contiene copias suficientemente pequeñas de todos los posibles poliedros convexos acotados.