Gran categoría de infinito

Question

Mi entendimiento es que las $(\infty,1)$-categorías generalizan tanto categorías como espacios (espacios topológicos, complejos de Kan o $\infty$-grupoides). Uno de los modelos más utilizados para las $(\infty,1)$-categorías son quasi-categorías (también conocidas como complejos de Kan débiles). El funtor de nervios plenamente fiel $\mathbf{N}:\mathbf{Cat}\to \mathbf{sSet}$ envía categorías pequeñas a quasi-categorías. Por lo tanto, obviamente las quasi-categorías generalizan a las categorías pequeñas, pero ¿qué sucede con las categorías grandes como $\mathbf{Set}$ y $\mathbf{Top}$? Los textos que estoy leyendo sobre $(\infty,1)$-categorías parecen ignorar intencionalmente algunos problemas relacionados con la teoría de conjuntos como "En estas notas ignoramos prácticamente todos los problemas relacionados con la teoría de conjuntos (con la excepción de la discusión de las categorías localmente presentables donde se requiere cierto cuidado)" en Un breve curso sobre $\infty$-categorías.

¿Existe un modelo desarrollado para las $(\infty,1)$-categorías que generalice las categorías grandes, además de las pequeñas? ¿Cuál es una referencia que proporcione un tratamiento para tales modelos?

Answer 1

Inusualmente, al hacer teoría de categorías, trabajamos en el contexto de universos de Grothendieck (o alguna teoría de conjuntos equivalente).

Luego $\mathbf{Set}$ es un abuso para la categoría de conjuntos $\mathbb U$-sets para algún universo $\mathbb U$ que está claro en el contexto, debería ser denotado $\mathbb U{\text-}\mathbf{Set}$. El axioma de los universo entonces asegura que $\mathbb U\text-\mathbf{Set}$ es una categoría $\mathbb V$-pequeña para un universo lo suficientemente grande $\mathbb V$. Ahora $\mathbb U\text-\mathbf{Set}$ puede ser visto, a través de su nervio, como un objeto en ${\mathbb V\text-\mathbf{Set}}^{\Delta^{\rm op}}$. Lo mismo aplica para $\mathbf{Top}$, que en realidad es un atajo para la categoría $\mathbb U\text-\mathbf{Top}$ de espacios topológicos con conjuntos subyacentes $\mathbb U$-pequeños.

Si realmente quieres trabajar en un marco fundacional que solo permite dos niveles (pequeño y grande) como NBG, todavía puedes definir lo que es una clase simplicial, y todavía puedes requerir que esta clase simplicial complete algunos cuernos, llevando eventualmente a una cuasi-categoría no pequeña. Simplemente no podrás verlos como objetos simpliciales de alguna categoría, eso es todo. También puedes adoptar otro modelo de $(\infty,1)$-categorías como Kan complejos categorías enriquecidas.