Derivar la serie de Maclaurin para $\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Question

Intrigado por esta brillante respuesta de Ron Gordon, estaba intentando encontrar la serie de Maclaurin para $$f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=g(x)G(x)$ $

$g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ y $G(x)$ su primitiva. Así que intenté multipy serie, que produjo esto:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1} (-1)^n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1} { -\frac{1}{2}\choose n-k}{ -\frac{1}{2}\choose k},$$

que no se puede simplificar más. ¿Cómo proceder? ¿O es esta condenado al fracaso?

Answer 1

Tenga en cuenta que %#% $ de #% por lo que podemos escribir % $ $$\int_0^1\frac{dt}{1-x^2+x^2t^2}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)=\frac{\arcsin(x)}{x\sqrt{1-x^2}}$pero $$\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\left(\int_0^1(1-t^2)^n\,dt\right)x^{2n+1}.$ $ por lo tanto, $$\int_0^1(1-t^2)^n\,dt=\int_0^1\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}t^{2k}\,dt=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k\binom{n}{k}}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$ $ ver también aquí para la prueba de $$\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}x^{2n+1}.$.