Descripción de cuadriláteros tangenciales

Question

Toma un cuadrilátero $ABCD$ y considera una línea paralela a cada uno de sus lados de modo que: 1- la distancia entre la línea paralela y el lado sea una cantidad fija $x$ y 2- las líneas paralelas estén "fuera" del cuadrilátero (esta es una formulación torpe cuando el cuadrilátero es cóncavo, pero creo que la idea está clara).

Estas líneas definen un nuevo cuadrilátero $A'B'C'D'$ donde $A'$ es la intersección de las paralelas a $AB$ y $AD$, y así sucesivamente para los demás.

Pregunta: ¿Se puede asumir que para todo $x$, $A'B'C'D'$ es similar a $ABCD$? ¿Es $ABCD$ un cuadrilátero tangencial?

Observa que si $ABCD$ es un cuadrilátero tangencial, entonces $A'B'C'D'$ es similar a $ABCD$ para todo $x$. De hecho, hasta la similitud, siempre se puede asumir que un cuadrilátero tangencial tiene un incírculo de radio uno, y este círculo toca al cuadrilátero en un punto que está a 0°. Así que, hasta la similitud, lo que define un cuadrilátero tangencial es la ubicación (en grados) de los otros 3 puntos en el círculo donde tocan las tangentes. Al realizar la transformación, el punto de contacto permanece en los mismos ángulos (en un círculo más grande).

Mi pregunta busca la inversa de esta observación.

Answer 1

Un resultado más fuerte se cumple: si $A'B'C'D'$ es similar a $ABCD$ para algún $x$, entonces $ABCD$ es un cuadrilátero tangencial.

Demostremos primero que las líneas $AA'$, $BB'$, $CC'$ y $DD'$ son concurrentes. Sea $O$ el punto de intersección de las líneas $AA'$ y $BB'$: entonces tenemos que $A'B'/AB=OB'/OB=1+BB'/OB$. Sea $O'$ el punto de intersección de las líneas $BB'$ y $CC'$: entonces $B'C'/BC=O'B'/O'B=1+BB'/O'B$. Pero por hipótesis, $A'B'/AB=B'C'/BC$, por lo tanto $OB=O'B$ y $O=O'$. El mismo razonamiento se puede repetir para $CC'$ y $DD'$, por lo tanto las cuatro líneas confluyen en el punto $O$.

Si la perpendicular desde $O$ hasta $AB$ interseca $AB$ en $H$ y $A'B'$ en $H'$ también tenemos que $A'B'/AB=OH'/OH=1+HH'/OH$. Y de la misma manera, si $OKK'$ es perpendicular a $BC$ obtenemos $B'C'/BC=OK'/OK=1+KK'/OK$. Pero $A'B'/AB=B'C'/BC$ y $HH'=KK'=x$, por lo tanto $OH=OK$. El mismo razonamiento se puede repetir para los lados $CD$ y $DA$: entonces obtenemos que el punto $O$ tiene la misma distancia $r$ de los cuatro lados de $ABCD$, es decir, los lados de $ABCD$ son tangentes al círculo de centro $O$ y radio $r$.