Dado una matriz $n \times n$ $A$, si $Ax = x$ para todo $x \in \Bbb R^n$, demuestra que $A$ es la matriz identidad.

Question

¿Cómo puedo demostrar que esta afirmación es verdadera? Encontré esto en un viejo libro de texto que estaba hojeando y me preguntaba cómo podría construir una demostración para ello.

Answer 1

Demuestra que si $Ax=x$ para todo $x$ entonces $AI=I$ donde $I$ es la matriz identidad.

Answer 2

Sea $B$ cualquier matriz $n\times n$, y sean $b_1,\dots,b_n$ las columnas de $A$. Por hipótesis, $Ab_k=b_k$ para $k=1,\dots,n$, y se sigue inmediatamente que $AB=B$. (Técnicamente también se tiene que mostrar que una identidad izquierda en el anillo de matrices $n\times n$ es una identidad dos lados).

Agregado: El punto clave es que si $A$ y $B$ son cualquier matriz $n\times n$, la columna $k$ de $AB$ es $Ab_k$, donde $b_k$ es la columna $k$ de $B. Por ejemplo, sea

$$A=\pmatrix{0&1&2\\3&-1&1\\1&1&2}$$ y $$B=\pmatrix{1&2&3\\2&1&4\\0&2&1}\;.$$

Entonces $$AB=\pmatrix{2&5&6\\1&7&6\\3&7&9}\;,\tag{1}$$ y por ejemplo

$$A\pmatrix{2\\1\\2}=\pmatrix{5\\7\\7}\;.\tag{2}$$

El cálculo en $(2)$ es idéntico a la parte del cálculo en $(1)$ que produce la segunda columna de $AB$.

Answer 3

Sea $C=A-I$. Entonces para todo $x\in \mathbb R^n$ se cumple que $Cx=Ax-Ix=x-x=0$. La afirmación seguirá demostrándose que $C$ debe ser cero (ya que entonces $A-I=0$ lo que implica $A=I$). Supongamos por el contrario que $C$ no es la matriz cero, y supongamos que su entrada $(i,j)$ no es cero: $c_{ij}\ne 0$. Pero el cálculo directo muestra que el componente $j$ del vector $C\cdot e_j$ es $c_{ij}$, y este último es el vector cero. Contradicción.

Answer 4

Si $e_k$ denota el vector de coordenadas de la unidad $k$, entonces para cualquier matriz $M$, $M e_k$ da la columna $k$ de $M.

Entonces, en el caso presente, $A e_k = e_k$ implica que la columna $k$ de $A$ es $e_k$. En otras palabras, $A$ es la matriz identidad.

Answer 5

Si escribes $x$ como una matriz de columna $n \times 1$, hay un único mapa lineal $F_{A}:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ asociado con $A$ de la siguiente manera: para cualquier $x \in \mathbb{R}^{n}$, si vemos este $x$ como una matriz de columna, la matriz de columna $Ax$ obtenida tiene elementos correspondientes en la $n$-tupla $F_{A}(x) \in \mathbb{R}^{n}$.

Lo que has escrito [$Ax = x$ para todo $x \in \mathbb{R}^{n}$] significa que el mapa correspondiente $F_{A}$ tiene que ser el mapa identidad. Y esto es exactamente el "por qué" $A = I$.

Tienes que escribir los detalles para ver esto. Avísame si encuentras algo incorrecto aquí.