La gravedad como teoría gauge

Question

Actualmente, la gravedad (clásica) (relatividad general) NO es una teoría gauge (al menos en el sentido de una teoría de Yang-Mills).

¿Por qué la gravedad "clásica" debería ser una teoría gauge (no trivial o "especial" o extendida)? ¿Debería la gravedad cuántica ser una teoría gauge?

Observación: Hay algunas afirmaciones contradictorias en la literatura sobre este tema. ¿Hasta qué punto la gravedad es una teoría "gauge"? Obviamente, la RG no es una teoría YM. Entonces, ¿por qué algunos dicen que la gravedad "ES" una teoría gauge? Esta pregunta me parece relevante, por ejemplo, luego manejamos la RG en la teoría de Einstein-Cartan o cualquier otra teoría más allá de la RG, como las teorías teleparalelas o las teorías gravitacionales de derivación superior. Así que creo que podría ser útil discutir el "sabor gauge" de la gravedad aquí.

Answer 1

Una teoría suele denominarse "teoría gauge" si todas las interacciones de esa teoría se introducen promoviendo simetrías globales a simetrías gauge. Nótese que una teoría gauge es una teoría invariante gauge, pero una teoría invariante gauge no tiene por qué ser una teoría gauge (por ejemplo, el Modelo Estándar es invariante gauge, pero no es una teoría gauge ya que la autointeracción escalar no amplía la simetría gauge del modelo). La teoría de Yang-Mills es un ejemplo de teoría gauge, pero no todas las teorías gauge son del tipo Yang-Mills. La Relatividad General es una teoría gauge en tres sentidos diferentes, a saber:

1. Invarianza bajo difeomorfismos . El difemorfismo puede ser visto como una versión local (aforada) de las traslaciones $\delta x^{\mu}\rightarrow a^{\mu}(x)$ . Para que la teoría sea invariante dif., una derivada covariante $\nabla$ debe sustituir a las derivadas parciales $\partial$ (una métrica general y dinámica $g$ tensor debe sustituir a la métrica de Minkowski $\eta$ también). Aquí, el campo más similar a la conexión de Yang-Mills es la conexión de Levi-Civita $\Gamma$ (nótese que en la formulación de Palatini este campo es independiente de la métrica), que se transforma como un tensor más un término que involucra la derivada de $a(x)$ , similar a la transformación de un campo no abeliano.

2. Invarianza bajo dif infinitesimal . Se puede dividir $g$ en un fondo fijo y una perturbación dinámica $h$ y la acción de una dif. infinitesimal sobre la perturbación resulta ser $\delta h_{\mu\nu}=\partial_{\mu}a_{\nu}+\partial_{\nu}a_{\mu}$ que también es una simetría gauge. Esta es la simetría gauge relacionada con la masa de los gravitones (como $SU_c(3)$ está relacionado con las masas de los gluones y $U_{em}(1)$ a las masas de los fotones). Aquí, el campo más parecido a la conexión de Yang-Mills es $h$ que se transforma de forma similar al potencial electromagnético, aunque $h$ no es una conexión en ningún sentido que yo conozca.

3. Invarianza bajo transformaciones locales de Lorentz . Resulta que para que los espinores se acoplen al campo gravitatorio, es conveniente introducir la formulación de la tétrada. En esta aproximación, hay una simetría gauge relacionada con la libertad que se tiene para elegir diferentes bases en diferentes puntos del espacio-tiempo. Hay que introducir una derivada covariante (diferente de la primera en esta respuesta) que nos permite cambiar de base. Esta formulación es la más parecida a la teoría de Yang-Mills (bueno, las variables de Ashtekar probablemente son aún más cercanas). La principal diferencia es que en RG, además de una conexión dinámica (equivalente al campo gauge en Yang-Mills), hay un campo tétrico (debido a que la métrica es un campo dinámico en la gravedad) que no tiene contrapartida en Yang-Mills. En este caso, el campo más parecido al de Yang-Mills es la mencionada conexión de espín, que se transforma como un tensor más un término que implica la derivada de la transformación local de Lorentz, de forma muy similar a un campo de Yang-Mills.

Answer 2

La gravedad no es una teoría de Yang-Mills en sentido estricto -bueno, excepto por las equivalencias como AdS/CFT o la teoría de matrices que implican que una teoría gravitacional cuántica es totalmente equivalente a una teoría gauge que vive en un espacio diferente (por ejemplo, en AdS/CFT, en la frontera del espacio AdS).

Sin embargo, la gravedad es una teoría gauge en el sentido más amplio porque está convenientemente formulada utilizando el grupo de simetría del difeomorfismo. Los difeomorfismos identifican configuraciones físicas que son físicamente equivalentes, al igual que en el caso de Yang-Mills, por lo que, aunque no son del tipo Yang-Mills, deben tratarse igual que las simetrías de Yang-Mills en las teorías de Yang-Mills.

Answer 3

La gravedad puede verse como una teoría gauge del grupo de Lorentz (que actúa sobre el espacio tangente). Esto fue señalado por Kibble y Sciama durante los años 50 y 60.

Como dijo John antes, es mejor verlo en términos de formas diferenciales.

Otra referencia que puede resultar interesante son las Lecture notes on Chern-Simons gravity de Jorge Zanelli (disponible en arXiv).