¿Hay alguna prueba del teorema de uniformización utilizando empaquetamiento de círculos?

Question

En este artículo: http://www.dm.unipi.it/~benedett/rodin-sullivan.pdf

Rodin y Sullivan muestran que los empaquetamientos de círculos convergen al mapa de Riemann. Más tarde, Scharmm y He encontraron otra prueba del mismo resultado que no se basaba en el teorema de la representación de Riemann.

Empiece con un dominio simplemente conexo, llénelo con monedas haciendo un patrón hexagonal (o cualquier otro empaquetamiento). Agregue un vértice extra al grafo de intersección, que corresponderá al borde. Ahora aplique el teorema de Koebe-Andreev-Thurston a este grafo planar. Esto define un mapa desde los centros de las monedas a los centros de algún empaquetamiento de círculos, llenando cada triángulo con mapas afines, lo que da un mapa que converge a uno conforme.

Vea https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_theorem para detalles.

¿Se puede generalizar este enfoque para obtener el teorema de uniformización completo? https://en.wikipedia.org/wiki/Uniformization_theorem

¿Hay alguna razón desalentadora por la que esto podría ser falso o difícil?

Answer 1

En primer lugar, el argumento de Rodin-Sullivan no puede, en principio, utilizarse para demostrar la uniformización, ya que utiliza la uniformización de dominios de tipo infinito (debido a Marden, si recuerdo bien) como ingrediente.

En segundo lugar, hay muchos enfoques de empaquetamiento de círculos para la uniformización, el primero de ellos dado por G. Leibon, utilizando ideas variacionales de Y. Colin de Verdiere y de I. Rivin, ver

MR1903777 (2003d:57038) Revisado
Leibon, Gregory(1-DTM)
Triangulaciones de Delaunay aleatorias y uniformización métrica. 
Int. Math. Res. Not. 2002, no. 25, 1331–1345

El argumento de Leibon es filosóficamente (y un poco más que eso) muy similar al argumento de Osgood-Phillips-Sarnak (que trabajan maximizando el logaritmo determinante del laplaciano).

Desde entonces, ha habido una mini-industria en la aproximación de mapas conformes mediante mapas de empaquetamiento de círculos (basados en las mismas ideas variacionales), donde los actores son G. Brock Williams, A. Bobenko, B. Springborn, F. Luo, B. Chow, y otros. Una búsqueda en mathscinet de estos nombres revelará mucho.