Sistema Karush-Kuhn-Tucker

Question

Tengo el siguiente problema

Considera el problema de encontrar el minimizador de $f(x)=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}(x_{j}-a_{j})^{2}$, $a_{j}\in \mathbb{R}$, $j=1,2,\dots, n$, $\hspace{2mm}$ restringido a $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}\leq 1,\hspace{3mm}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{j}= 0$.

El sistema KKT es

1. $L_{x_{j}}(x,\mu_{1},\mu_{2})=2(x_{j}-a_{j})+\lambda +2\mu x_{j}=0\hspace{4mm}\text{para}\hspace{2mm}j=1,2,\cdots, n$;

2.$\mu\geq 0$;

3.$\mu\left[\displaystyle \sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}-1\right]=0$;

4.$\sum_{j=1}^{n}x_{j}= 0$;

5. $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}-1\leq 0$;

Vamos a considerar dos casos

a. Si $\mu=0$, entonces en 1. tenemos $x_{j}=\frac{2a_{j}-\lambda}{2}$, colocando este valor en 4. obtenemos $\lambda= \frac{2}{n}\displaystyle \sum_{j=1}^{n}a_{j}$, así que $x_{j}= a_{j}-\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{j=1}^{n}a_{j}$. Pero en este punto estoy atascado, ya que no sé cómo verificar si el 5. es verdadero o falso.

b. Si $\mu \neq 0$, lo único que tengo es que $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}-1=0$ pero no estoy seguro de cómo usar este hecho.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que $\mu\ne0$, y sumar 1. sobre $i=1,\ldots,n$ da como resultado

$$\lambda=\dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^na_i=2\bar{a},$$

donde $\bar a:=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$ es el valor medio de la secuencia $\{a_1,\ldots,a_n\}$ y donde hemos usado 4.

Ahora, de 1., de nuevo, obtenemos que

$$(1+\mu)x_j=a_j-\bar{a}.$$

Al elevar al cuadrado y sumar obtenemos

$$(1+\mu)^2=\sum_{i=1}^n(a_j-\bar{a})^2,$$

donde hemos usado 5., que es una igualdad en este caso. Sea $V(a)=\sum_{i=1}^n(a_j-\bar{a})^2/n$ que es la varianza de la secuencia $\{a_1,\ldots,a_n\}$. Entonces, tenemos que

$$(1+\mu)^2=nV(a)$$

y

$$\mu=(nV(a))^{1/2}-1.$$

Finalmente, esto da como resultado

$$x_j=\dfrac{a_j-\bar{a}}{(nV(a))^{1/2}}.$$