Una pregunta sobre Matrices y Transformaciones Lineales

Question

Sea $v_1,...,v_n$ una base de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$. Sea $M(T)$ la matriz de una aplicación lineal $T:V \rightarrow V$ con respecto a nuestra base.
Demostrar $$M(ST)=M(S)M(T)$$ para todo $S,T:V \rightarrow V$

Mi intento
Sea $n:= dim(V)$.
Ahora tanto $S,T$ tienen la misma base, y sea $A=(\alpha_{ij})$ y $B=(\beta_{ij})$ las matrices correspondientes.
Y sea $AB$ la matriz $n\times n$ $(\gamma_{ij})$. Entonces por la definición de multiplicación de matrices, $$(\gamma_{ik})=\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{ik}$$ para $1\leq i,k \leq n$.
Ahora para calcular la matriz $ST$ tenemos; $$ST(v_k)=S(T(v_k))=S(\sum\limits_{j=1}^n \beta_{jk}v_j = \sum\limits_{j=1}^n \beta_{jk}S(v_j)= \sum\limits_{j=1}^n \beta_{jk} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{ij}v_i = \sum\limits_{i=1}^n(\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{ik})v_i= \sum\limits_{i=1}^n (\gamma_{ij}) v_i$$
Entonces la matriz de $ST$ es $(\gamma_{ij})=AB $ como se afirmaba.

¿Es correcta esta demostración?

Answer 1

Aunque la idea es correcta, hay algunos errores con los subíndices en tu demostración, por ejemplo: $(\gamma_{ik})=\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{ik}$ debería ser $(\gamma_{ik})=\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij}\beta_{jk}$. Y al final te gustaría tener $ST(v_k)= \sum\limits_{i=1}^n (\gamma_{ik}) v_i$.

Aquí hay otra forma, si se te permite hacer uso del hecho de que el mapa $\phi:\mathscr{L}(V,V)\rightarrow M_{n \times n}$ que envía cada operador a su representación matricial es un isomorfismo lineal, y $\psi:V\rightarrow \mathbb{F}^n$ que envía cada vector en $V$ a su vector de coordenadas con respecto a cualquier base en $V$ también es un isomorfismo lineal, entonces tenemos lo siguiente para cualquier vector $v \in V$: M(ST)[v]=[ST(v)]=[S(T(v)]=M(S)[T(v)]=M(S)M(T)[v], donde los corchetes indican el vector de coordenadas con respecto a la base $\{v_1,v_2, \ldots,v_n\}$.