He estado trabajando en el siguiente problema, y aunque he hecho algunos avances, no sé cómo terminar. A lo largo del ejercicio, estamos trabajando en el disco de Poincaré.
Considera los puntos $p=(-1/3,0)$ y $q==(1/3,2/3)$, y sea $T$ la traslación hiperbólica tal que $T(p)=q$. Sea $R$ la rotación hiperbólica alrededor de $p$ en $\pi/2$. Determina si $TR$ es una traslación, rotación o desplazamiento paralelo hiperbólico.
Progreso hasta ahora: La traslación $T$ toma un punto y lo envía a otro punto que se encuentra en el círculo euclidiano que pasa por el punto y los puntos $(\frac{-12\sqrt{13}-15}{61},\frac{-10\sqrt{13}+18}{61})$ y $(\frac{12\sqrt{13}-15}{61},\frac{10\sqrt{13}+18}{61})$. Lo hice mediante un cálculo directo, encontrando la línea hiperbólica que pasa por $p$ y $q$ y viendo dónde interseca el círculo unitario. A continuación, la rotación alrededor de $p$ en $\pi/2$ es la composición de dos reflexiones, una respecto a la línea $y=0$ y la otra respecto al círculo $(x+5/3)^2+(y-4/3)^2=32/9$. También hice esto mediante un cálculo directo.
Ahora, para ver qué es $TR$, creo que querría buscar puntos fijos, por ejemplo. Sin embargo, la única forma que se me ocurre de hacer esto es escribiendo explícitamente la fórmula de $TR$. Esto no parece elegante ni deseable. ¿Alguien me puede ayudar?
$^*$Recientemente publiqué esto accidentalmente usando la cuenta de otra persona que también usa esta computadora; borré esa pregunta y la estoy volviendo a hacer.
