¿El producto de una distribución temperada y una función acotada es una distribución temperada?

Question

Si $f$ es una distribución temperada y $g$ está acotada, ¿es la distribución el producto $fg$ temperada?

Gracias de antemano.

Answer 1

No. (¿Se proporcionó más información sobre $g$ en la declaración del problema?) De hecho, el producto $gu$ ni siquiera necesita existir:

Recuerde primero que la definición de $gu$ es $$(gu)(\phi)=u(g\phi)\quad(\phi\in\mathcal S).$$

Defina $u$ como $$u\phi=\phi'(0).$$. Sea $$g(t)=\begin{cases}1,&(t\ge0), \\-1,&(t<0).\end{cases}$$Si hubiera algo como $gu$ tendríamos $$(gu)(\phi)=(g\phi)'(0).$$Pero $(g\phi)'(0)$ no necesita existir para $\phi\in\mathcal S$.

Tenga en cuenta que asumir que $g$ es infinitamente diferenciable no es suficiente; considere $u(\phi)=\int_0^\infty\phi$ y $g(t)=\sin\left(e^t\right)$. (Ahora $gu$ es una distribución, pero no una distribución temperada.)