Imagen de subvariedad regular es una subvariedad regular/incrustada.

Question

Sea $F:N\rightarrow M$ una incrustación suave. Entonces, $F(N)$ es una subvariedad embebida de $M$.

Entonces, lo que he intentado es lo siguiente: Sea $F(p)\in F(N)$ para algún $p\in N$. Como $F$ es una inmersión, por el teorema de inmersión, existen cartas $(U,\phi)=(U,x^1,....,x^n)$ alrededor de $p$ y $(V,\psi)=(V,y^1,.....,y^m)$ alrededor de $F(p)$ en las cuales $F(U)\subseteq V$ y $(\psi \circ F\circ \phi^{-1})(x^1,.....,x^n)=(x^1,.....,x^n,0,.....,0)$ en $\phi(U)$.

Como $F(N)$ es homeomorfo a $N$, existe un conjunto abierto $W$ en $M$ tal que $F(U)=V'\cap F(N)$. Por lo tanto, $V\cap V'\cap F(N)= V\cap F(U)=F(U)$.

Afirmación: $\psi(V\cap V'\cap F(N))$ = $\psi(V\cap V')\cap (\mathbb{R}^{n}$ $ \times \{0\} )$

Ahora claramente, $\subseteq$ es válido. Sin embargo, no creo que la inclusión inversa sea válida. Quiero decir, para $\psi(q)\in \psi(V\cap V') \cap (\mathbb{R}^n \times \{0\})$ , no hay una razón inmediata para que $q$ también esté en $F(N)$.

Para remediar esta situación, supongo que necesitaríamos construir una nueva carta $W$ tal que $W\subseteq V\cap V'$ y $W\subseteq F(N)$. Me gustaría una indicación en la dirección correcta.

Answer 1

La inclusión $\psi(V\cap V'\cap F(N))\subseteq\psi(V\cap V')\cap (\mathbb{R}^{n}\times \{0\} )$ podría ser estricta, pero hay que tener en cuenta que si dim$(N)$$(M)$ restringiendo el conjunto $(V,\psi)$ a algún conjunto abierto $W$ con $W\subseteq F(N)$ no puede funcionar por razones dimensionales.

Para eliminar la posible inclusión estricta simplemente restringimos aún más a

$$W=V\cap V'\cap \psi^{-1}(\phi(U)\times\mathbb R^{m-n})$$

Esto asegura que además la parte ''$\mathbb R^n$'' en la imagen de $\psi$ solo proviene de puntos en el dominio de $\phi$. Más formalmente, como una inyección $\psi$ respeta intersecciones, entonces $$\psi(W)\cap(\mathbb R^n\times\{0\}) =\psi(V\cap V')\cap(\phi(U)\times\mathbb R^{m-n})\cap (\mathbb R^n\times\{0\}) =\psi(V\cap V')\cap(\phi(U)\times\{0\}) =\psi(V\cap V')\cap\psi(F(U)) =\psi(V\cap V'\cap F(N))$$ y al intersectar ambos lados con $\psi(W)$ obtenemos

$$\psi(W)\cap(\mathbb R^n\times\{0\})=\psi(W\cap F(N))$$

lo cual concluye la prueba.