Mostrando que $\sum\limits_{j=0}^\infty a_j=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k$

Question

Mostrar cuando $\sum\limits_{j=0}^\infty a_j$ es absolutamente convergente, entonces $\sum\limits_{k=0}^\infty b_k$ con $b_k:=(a_0+2a_1+...+2^ka_k)/2^{k+1}$ también es absolutamente convergente,

y incluso $\sum\limits_{j=0}^\infty a_j=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k$

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Mi intento:

$\sum\limits_{k=0}^\infty b_k=\frac{a_0}{2}+\left(\frac{a_0}{2^2}+\frac{2a_1}{2^2}\right)+\left(\frac{a_0}{2^3}+\frac{a_1}{2^3}+\frac{2^2a_2}{2^3}\right)+...=\sum\limits_{k=0}^\infty \left (\sum\limits_{i=0}^k \frac{1}{2^{k+1}}2^ia_i\right)$

$$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\left |\sqrt[k]{\sum\limits_{i=0}^{k} \left ( \frac{1}{2^{k+1}}2^ia_i\right)}\right|=0<1$$

Porque $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\left |\sum\limits_{i=0}^{k} \left ( \frac{1}{2^{k+1}}2^ia_i\right)\right|=\left |\sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( 0*2^ia_i\right)\right|=0$

$\sum\limits_{k=0}^\infty \left (\sum\limits_{i=0}^k \frac{1}{2^{k+1}}2^ia_i\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k$ es absolutamente convergente

Dado que $\sum\limits_{k=0}^\infty b_k$ es absolutamente convergente, podemos reorganizar sus componentes:

$$\sum\limits_{k=0}^\infty b_k=\frac{a_0}{2}+\left(\frac{a_0}{2^2}+\frac{2a_1}{2^2}\right)+\left(\frac{a_0}{2^3}+\frac{2a_1}{2^3}+\frac{2^2a_2}{2^3}\right)+...=a_0\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...\right)+a_1\left(\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+...\right)+...$$

$$=a_0\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k\right)+2a_1\left(\sum\limits_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k\right)+2^2a_2\left(\sum\limits_{k=3}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k\right)+...$$

$=a_0\left(2-1\right)+2a_1\left(2-1-\frac{1}{2}\right)+2^2a_2\left(2-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+...=a_0+\frac{1}{2}2a_1+\frac{1}{4}2^2a_2+...=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k$

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¡Hola! ¿Alguien podría revisar mi trabajo y darme algunos comentarios :)? ¿Es correcta mi solución y, si no lo es, qué podría mejorar?

Answer 1

Cuando quieras demostrar la convergencia absoluta de la serie $\sum_k b_k$ debes probar que $\sum_k |b_k|$ es finita. Cuando solo tienes términos no negativos, puedes reorganizarlos en cualquier orden. Aquí

$$ \begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^\infty |b_k| &= \sum\limits_{k=0}^\infty \left |\sum\limits_{i=0}^k \frac{1}{2^{k+1}}2^ia_i\right| \leq \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^k \frac{1}{2^{k+1}}2^i |a_i| = \sum_{0 \leq i \leq k} \frac{1}{2^{k+1}}2^i |a_i| \\ &=\sum\limits_{i=0}^\infty 2^i |a_i| \underbrace{\left (\sum\limits_{k=i}^\infty \frac{1}{2^{k+1}}\right)}_{=\frac{1}{2^j}} = \sum\limits_{i=0}^\infty |a_i| < \infty \end{aligned} $$

así que la serie $\sum_k b_k$ es absolutamente convergente. Una vez que hayas demostrado esto, estás garantizado de que puedes reorganizar los términos con $\sum\limits_{k=0}^\infty b_k$ así que los mismos cálculos funcionan, pero tienes una igualdad en lugar de una desigualdad en el segundo paso, así que obtienes que $\sum_k b_k = \sum_k a_k$.