¿Cómo llamamos a una ley que toma un número como entrada y devuelve una función?

Question

Una ley que convierte un número en otro número se llama función. Una ley que convierte una función en un número se llama funcional, es decir, y = max(f(x)). Llamamos operador a una ley que convierte una función en otra función, es decir, una derivada. ¿Cómo llamamos a una ley que convierte un número en una función?

Answer 1

Yo llamaría a algo que mapea funciones a funciones un operador. Los operadores diferenciales son una clase que se estudia con frecuencia.

El término función se puede entender de manera más general. Básicamente, cualquier cosa que mapea de un espacio a otro, siempre y cuando cada elemento del primer espacio se mapee exactamente a un elemento del segundo, es una función. Cualquiera de los espacios podría ser solo números naturales, reales, etc., pero también podría ser un espacio de funciones o un espacio de matrices o algo así.

Edit en respuesta al comentario: Un espacio de funciones suele ser mucho más grande que un espacio de números. Si tienes una función que mapea los números reales a funciones de números reales, solo una pequeña cantidad de las funciones estarán en la imagen de tu mapeo, por lo que este tipo de cosas rara vez son útiles.

El único contexto en el que se usaría algo similar es si tienes una familia de funciones parametrizadas por números. Por ejemplo, la familia de funciones $f_n(x)=x^n$ donde $n$ es un número natural, pero realmente no consideraría esto como un mapeo de números a funciones.

Answer 2

Podríamos llamar a esta ley que convierte un número en una función una representación. La representación está bien definida, si nos restringimos a algún subconjunto de funciones.

Por ejemplo, dado un número $k \in \mathbb{R}$ podemos definir una función $f(x) = k x$ para todo $x \in \mathbb{R}$ que representa el número $k$. En este ejemplo trivial, para el conjunto de funciones $\lbrace f(x) = kx$ para todo $x \in \mathbb{R} \mid k \in \mathbb{R}\rbrace$, la inversa $f \mapsto k$ es biyectiva, es decir, existe un único $k \in \mathbb{R}$, tal que $f(x) = kx$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Esto también es un corolario del teorema de representación de Riesz.