Caracterización del campo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

Question

Dejemos que $R \neq 0$ sea un anillo que puede no ser conmutativo y no tener identidad. Supongamos que $R$ cumple las siguientes condiciones.

1) $a^2 = a$ para cada elemento $a$ de $R$ .

2) $ab \neq 0$ siempre que $a \neq 0$ y $b\neq 0$ .

Es $R$ es isomorfo al campo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Supongamos que $a,b\neq0$ . Tenemos $$ 0=abab-ab=(aba-a)b, $$ así que $a=aba$ . Por lo tanto, $$ 0=a-aba=a^2-aba=a(a-ba). $$ Así que también vemos que $a=ba$ . Repitiendo la dosis una vez más $$ 0=ba-a=ba-a^2=(b-a)a\implies b=a. $$ Por lo tanto, su rng sólo tiene un elemento distinto de cero. Como no hay divisores de cero ese elemento distinto de cero es una identidad, y se deduce que $R\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Answer 2

Dejemos que $a \neq 0$ sea un elemento de $R$ . Basta con demostrar que $a$ es una identidad. Así que nos gustaría mostrar primero que $ab = b$ para cualquier elemento $b$ de $R$ . Basta con demostrar que $a(ab) = ab$ gracias a la condición 2). Pero esto es obvio gracias a la condición 1). Del mismo modo, podemos demostrar que $ba = b$ .