Conectividad infinita y grafos proyectivos

Question

Llamamos dos nodos $v$ y $w$ de un grafo infinitamente conectados si existe un camino infinito $P(v)$ que comienza en $v$ y un camino infinito $P(w)$ que comienza en $w$ tal que hay un $x \in P(v) \cap P(w)$ que no está conectado (en el sentido estándar, es decir, finito) a uno de $v$ o $w.

Parece ser un simple hecho que no existen grafos con nodos infinitamente conectados, ya que cada $x$ en un camino simplemente infinito está finitamente conectado al punto de inicio.

Por otro lado, compara la situación con la geometría: En la geometría estándar (es decir, euclidiana), ninguna dos líneas paralelas se intersectan, a diferencia de la geometría proyectiva donde todos los pares de líneas se intersectan.

¿Existe algo así como una "teoría de grafos proyectiva" con nodos "en el infinito"?

El concepto de nodos infinitamente conectados podría ser vacío en dicha teoría de grafos, ya que todos los nodos podrían estar conectados, finita o infinitamente. Pero esto probablemente dependería de la teoría.

Answer 1

Tal vez estés preguntando por la noción de extremos de grafos, que son solo un caso especial de los extremos en espacios topológicos. (Consulta http://en.wikipedia.org/wiki/End_(topology)) Al menos la motivación que das recuerda fuertemente a los extremos de grafos, ya que son una especie de "puntos en el infinito".

Answer 2

Aquí hay un ejemplo que podría simplificarse (ver abajo), pero lo dejaré así: Piensa en el plano proyectivo real como la completación de $\mathbb{R}^2$ por puntos y una línea en el infinito. Considera un grafo cuyo conjunto de vértices es $\mathbb{Z}^2$ junto con los puntos infinitos de líneas con pendiente racional. Usa aristas en la porción finita de $(a,b)$ a $(a\pm1,b\pm1)$. Entonces hay dos componentes conectadas en el grafo inducido en $\mathbb{Z}^2.$ Un camino está determinado por un punto de inicio y una cadena usando $L,R,\ell,r$ donde $L$ y $\ell$ denotan un movimiento de $(a,b)$ a $(a-1,b+1)$ y $(a-1,b-1)$ respectivamente. Podemos permitir exponentes para que el camino $(5,10)RRRLLrLLrLLrLLr$ pueda ser descrito por $(5,10)R^3(LLr)^4.$ Finalmente, permitimos un exponente de $\infty$ pero solo como el símbolo más a la derecha en una cadena. Entonces los caminos eventualmente periódicos son (exactamente) los caminos infinitos nomenclables finitos. Creo que está claro cómo añadir un punto infinito a cada camino infinito. Ahora cada par de vértices finitos está infinitamente conectado. Como está, los puntos infinitos no están en ninguna arista. Podríamos definir algunas aristas de una forma u otra (quizás a otros puntos infinitos) pero eso no afecta al ejemplo.

Una idea similar usaría expansiones decimales finitas (con $0.120$ conectado a los once vértices $0.12$ y $0.120j$) Así que este es un árbol $10$-ario infinito. Luego los puntos ideales corresponderían a racionales y $0.284$ está conectado finitamente a $0.285$ por un camino de longitud $2$ a través de $0.28$ así como infinitamente conectado a través del punto común de $0.284999\dots$ y $0.285000\dots.$