Resolviendo problemas de ecuaciones diferenciales con la función escalón unitario y la función delta.

Question

Supongamos que tenemos una ecuación diferencial mónica definida por $$x'' + x = \sum_{n=0}^\infty \delta(t - 2n\pi)$$ Cuando tomamos la transformada de Laplace de esta ecuación diferencial, obtenemos $$s^2X(s) + X(s) = \sum_{n=0}^\infty e^{-2n\pi s}$$ Resolviendo por $X(s)$ tenemos $$X(s) = \frac{1}{s^2 + 1} \sum_{n=0}^\infty e^{-2n\pi s}$$ Expandiendo la suma obtendremos lo siguiente: $$X(s) = \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{e^{-2\pi s}}{s^2 + 1} + \frac{e^{-4\pi s}}{s^2 + 1} + ...$$ A partir de aquí, podemos tomar las transformadas de Laplace inversas de todos los términos en la secuencia y sumarlos juntos para obtener otra suma. Esta operación nos da: $$x(t) = sin(t) + u(t-2\pi)sin(t-2\pi) + u(t-4\pi)sin(t - 4\pi) + ... = sin(t) + \sum_{n=1}^\infty u(t - 2n\pi)sin(t - 2n\pi)$$ Aquí es donde comienza mi confusión. Supongo que he hecho todo correctamente hasta este punto (por favor corríjame si estoy equivocado). Mi libro de texto afirma "... mostrar que si $2n\pi \lt t \lt 2(n+1)\pi$, entonces $x(t) = (n + 1) sin(t)$".

¿Cómo hago esto? ¿Cuál es el significado de los límites establecidos para $t$? Gracias de antemano m8s.

Nota: He notado que $x(t) = sin(t) + \sum_{n=1}^\infty u(t - 2n\pi)sin(t - 2n\pi) = sin(t) + \sum_{n=1}^\infty u(t - 2n\pi)sin(t)$. Simplemente no logro entender la intuición entre la función de paso unitario y los límites establecidos en $t$.

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos

$$x(t)=\sin(t)\sum_{k=0}^\infty u(t-2k\pi) \tag 1$$

donde $u(t)$ es la función escalón unitario definida como

$$u(t)=\begin{cases}1&,t\ge 0\\\\0&,t\le 0 \end{cases},$$

Ahora, tenga en cuenta que si $2n\pi < t<2(n+1)\pi$, entonces todas las funciones escalón en $(1)$ son $0$ cuando $k>n+1$ y todas las funciones escalón en $(1)$ son $1$ cuando $k\le n$.

Es decir, que para $t\in (2n\pi,2(n+1)\pi)$

$$u(t-2k\pi)=\begin{cases}1&, k\le n\\\\0&,k>n\end{cases}$$

Por lo tanto, para $t\in (2n\pi,2(n+1)\pi)$

$$\begin{align} x(t)&=\sin(t)\sum_{k=0}^\infty u(t-2k\pi)\\\\ &=\sin(t)\left(\sum_{k=0}^n (1)+\sum_{k=n+1}^\infty(0)\right)\\\\ &=(n+1)\sin(t) \end{align}$$

¡como se quería demostrar!