¿Por qué $\operatorname{Hom}_{\textrm{AG}}(k^\times,k^\times)\cong\mathbb{Z}$?

Question

Supongamos que $k$ es un campo algebraicamente cerrado, y $k^\times$ su grupo multiplicativo. He leído que $\operatorname{Hom}_{\textrm{AG}}(k^\times,k^\times)\cong\mathbb{Z}$, donde la izquierda consiste en homomorfismos de grupos algebraicos afines.

La razón de esto es que los únicos homomorfismos de grupos algebraicos $k^\times\to k^\times$ son de la forma $x\mapsto x^m$ para $m\in\mathbb{Z}$.

Sin embargo, pensé que los morfismos de grupos algebraicos también deben ser morfismos de variedades afines, por lo que si $\phi$ es un morfismo de grupos algebraicos afines, $\phi(x)$ tiene coordenadas que son polinomios en las coordenadas de $x$. Dado que solo hay una coordenada en este caso, ¿no significa eso que las únicas posibilidades son $x\mapsto x^m$ para $m\geq 0$?

Answer 1

$k^{\times}$ es una variedad afín, pero no es una subvariedad afín de $k$. En su lugar, es una subvariedad afín de $k^2$, bajo la inclusión

$$k^{\times} \ni x \mapsto (x, x^{-1}) \in k^2.$$

Es el hecho de que esta segunda coordenada sea $x^{-1}$ lo que te permite tomar $m \in \mathbb{Z}$. Más abstractamente, el anillo de coordenadas de $k^{\times}$ es $k[x, x^{-1}].