Doble integral con logaritmos

Question

Método más rápido para calcular la solución exacta de la siguiente integral (basado en las ideas de Fedor Petrov: https://mathoverflow.net/users/4312/fedor-petrov, Doble integral con logaritmos, URL (versión: 2019-04-15): https://mathoverflow.net/q/328126):

$$J\equiv \int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{\frac{\ln x-\ln y}{x-y}}}dxdy .$$

Ya que $$f\left( x,y \right)=\frac{\ln x-\ln y}{x-y}=f\left( y,x \right),$$ la superficie $f\left( x,y \right)$ es simétrica respecto al plano bisector $x = y$; entonces,

$$\frac{J}{2}=\int_{0}^{1}{dx\int_{0}^{x}{\frac{\ln x-\ln y}{x-y}}}dy.$$

Con el cambio de variable $$y\equiv tx,\ t\in \left( 0,\ 1 \right),$$ la integral $$\int_{0}^{x}{\frac{\ln x-\ln y}{x-y}}dy,$$ se transforma en la siguiente que no depende de $x$, $$I\equiv -\int_{0}^{1}{\frac{\ln t}{1-t}\,}dt.$$

La integración sobre el cuadrado unidad $(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0,1)$ se reduce a la integración sobre el triángulo $(0, 0), (1, 0), (1, 1).$

Para resolver la integral $I$ realizaremos el nuevo cambio de variable, $$s\equiv 1-t,$$ por el cual $I$ se transforma en la integral que define el dilogaritmo, cuyo valor para $s = 1$ coincide con la Función zeta de Riemann $\zeta \left( 2 \right)$, cuyo valor es bien conocido:

$$I=\int_{1}^{0}{\frac{\ln \left( 1-s \right)}{s}\,}ds=\text{L}{{\text{i}}_{2}}\left( 1 \right)=\zeta \left( 2 \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{6}.$$ Por lo tanto, la solución a la integral propuesta es $$J=\frac{{{\pi }^{2}}}{3}.$$

Nota. Lo intenté con transformaciones polilogarítmicas, pero no pude obtener el resultado $\frac{{{\pi }^{2}}}{3}.$

Answer 1

Por simetría tenemos $J/2=\int_0^1 dx \int_0^x f(x, y) dy$ donde $f(x, y)$ es su integrando. Al integrar contra $y$ para $x$ fijo denotamos $y=tx$, $t$ varía de 0 a 1 y la integral contra $y$ se lee como $-\int_0^1 \frac{\log t} {1-t}dt$. No depende de $x$ y es bien sabido que es igual a $\pi^2/6$ (puede usar la expansión de la progresión geométrica $\frac{1}{1 - t} =\sum_{n>0 } t^{n-1}$ e integrar término por término para obtener $\sum 1/n^2$).