¿Cómo se compara el texto de álgebra abstracta de Dummit y Foote con otros?

Question

Estoy buscando un buen libro sobre álgebra abstracta (y si es posible álgebra lineal).

Obviamente, como la mayoría de estos textos suelen ser bastante caros, quiero saber con certeza cuál es el mejor para mí. ¿Podría alguien aquí darme una visión general de las fortalezas y debilidades del "abstract algebra" de Dummit y Foote en comparación con, por ejemplo, "A first course in abstract algebra" de Fraleigh y tal vez dar algún consejo sobre cuál es el mejor para mi nivel actual?

Todavía no soy universitario, pero he leído el libro "An introduction to abstract algebra" de W. Nicholson, así como haber hecho muchos de los ejercicios. El libro parece cubrir gran parte de la introducción a grupos, anillos y campos, así como cubrir otros temas como los teoremas de Sylow y algo de Teoría de Galois. Quiero pasar a un libro más avanzado, aunque preferiblemente uno que pueda estudiar por mi cuenta con éxito y que tal vez contenga la información introductoria para que pueda repasarla (no $\textit{poseo}$ mi libro, tengo que devolverlo pronto).

También estoy leyendo algo de análisis introductorio, pero cualquier libro que no haga referencia demasiado al análisis sin explicación sería bueno.

Si el álgebra lineal no está contenida en el libro, ¿podrían también dirigirme a un texto adecuado sobre eso, por favor?

Gracias

Answer 1

Aquí están algunas de mis sugerencias.

1. Asegúrate de estar familiarizado con el material del libro de Nicholson antes de leer el de Foote. En mi experiencia, no es suficiente leer solo una vez en álgebra abstracta. Te sugiero que estudies el libro de Fraleigh. Necesitas aclarar la diferencia entre un anillo con unidad y un anillo sin unidad. Nicholson define un anillo como teniendo una unidad. Esta suposición me crea cierta confusión cuando leo el Álgebra de Hungerford después de leer el libro de Nicholson.

2. Hay muchas ventajas en el libro de Fraleigh.

   (a) Sus ejercicios están ordenados de fácil a difícil.

   (b) Fraleigh enseña a los lectores muchos conceptos en el aprendizaje del álgebra. Por ejemplo, dice: "Si no entiendes lo que significa el enunciado de un teorema, probablemente será inútil para ti leer la demostración (2/a p. xi)." Otro ejemplo aparece cuando estaba enseñando el Teorema de Lagrange. Dice: "Nunca subestimes los resultados que cuentan algo. Menciona esta frase muchas veces a lo largo de este libro."

   (c) Compara teoremas en teoría de grupos y teoría de anillos.

   (d) Enfatiza los tres teoremas más importantes en teoría básica de anillos (p.248).

   (e) Da una excelente explicación de la extensión de campo. Especialmente $\Bbb{Q}(x)\cong \Bbb{Q}(\pi)$ (p.270).

3. Las ventajas del libro de Foote y Dummit.

   (a) Dan la relación entre campo, E.D., P.I.D., U.F.D. e I.D. mediante una cadena de inclusión (3/a p.292).

   (b) Comparan la noción en módulo y espacio vectorial mediante una tabla (p.408).

   (c) Dan una excelente explicación de la teoría de la representación. (Muestran la similitud entre el módulo $FG$ y el módulo $F[x]$.

4. Las desventajas del libro de Foote y Dummit.

   (a) Suelen dar sus suposiciones al principio de cada sección. Esta convención a menudo me hace preguntar porque cuando enuncian algunos teoremas o ejercicios, omitir la suposición.

   (b) Solo dan el algoritmo de cómo encontrar la forma racional canónica de una matriz. Necesitas consultar el Álgebra de Goodman y el Álgebra de Weintraub para entender por qué funciona el algoritmo.

5. Te recomiendo leer el Álgebra de Hungerford como un libro de texto avanzado.

   (a) Tiene el mismo nivel que Foote y Dummit. El aclara muchos conceptos que antes había entendido mal. Por ejemplo, la forma de un ideal varía de anillo a anillo (p.123).

   (b) Si hay un teorema que afirma $P\Rightarrow Q$, entonces siempre da un ejemplo de por qué la reversión no se cumple.

   (c) Discute anillos sin unidad. Creo que esto es importante para mí en la teoría avanzada de anillos. Ver cap. IX. La estructura de los anillos.

6. En resumen, si quieres estar familiarizado con el álgebra abstracta, no necesitas comparar estos libros. Porque en mi opinión, deberías leer todos ellos (incluso si aún no es suficiente).

7. Para álgebra lineal, recomiendo el libro de Friedberg. Puedes tratarlo como una versión más fácil del de Hoffman. Si quieres aprender álgebra lineal con una interpretación más geométrica o aspecto intuitivo, entonces el libro de Anton es una buena elección.