$\pi^4 + \pi^5 \approx e^6$ ¿hay algo especial ocurriendo aquí?

Question

Visto en las noticias: $$(\pi^4 + \pi^5)^{\Large\frac16} \approx 2.71828180861$$

¿Es esto solo un caso de agujero de paloma?

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DISCUSIÓN: falsificar $e$ usando $\pi$'s

Dado suficientes enteros y $\pi$'s podemos aproximar casi cualquier número. En lenguaje matemático formal decimos que este conjunto es denso en los números reales:

$$ \overline{ \mathbb{Z}[\pi]} = \mathbb{R}$$

Esto es solo parte de la historia ya que no nos dice qué tan grandes tienen que ser nuestros enteros para aproximar la constante que elijamos. ¿Quizás podemos cuantificar esto con una noción de densidad?

$$ \mu_N([a,b]) = \frac{\# |\{ m + n \pi: -N \leq m,n \leq N \}\cap[a,b]|}{N^2} $$

El ejemplo anterior funciona debido a las constantes 4, 5 y 6.
Podemos enfocarnos en una constante particular y preguntar cuánto esfuerzo se necesita para aproximar una constante dada:

$$ \big\{ (m,n)\in \mathbb{Z}^2: \big| m + n \pi - \alpha \big|< \epsilon \big\} $$

En nuestro caso necesitamos incorporar raíces cuadradas, raíces cúbicas y superiores.

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Generalización ¿Qué tan de cerca podemos aproximar $e$ usando potencias de $\pi$ y raíces de índice $n$?

$$\displaystyle ( a + b\pi )^{1/p} \approx e $$

Aquí $0 \leq |a|,|b|,p \leq 10$

Answer 1

Aproximaciones bien conocidas para $\pi$, $\pi^2$ y $\pi^3$ pueden estar relacionadas con la pregunta.

$$e^6 \approx 403 = 13·31 = (3+10)·31 \approx \left(\pi+\pi^2\right)\pi^3= \pi^4+\pi^5$$

Las aproximaciones $\pi \approx 3$ y $\pi^2 \approx 10$ tienen errores absolutos similares con signo opuesto, por lo que la combinación $\pi+\pi^2 \approx 13$ es más precisa. La raíz más grande del polinomio $x^2+x-13$ es $\frac{\sqrt{53}-1}{2}\approx 3.140$, que aproxima $\pi$ con una precisión entre la de $\sqrt{10}$ (un dígito) y $31^\frac{1}{3}$ (tres dígitos).