Esta pregunta sigue a dos preguntas similares que puedes encontrar aquí y aquí.
La idea es caminar en un cuadrado de longitud $n\times n$, siguiendo algunas reglas. Identificaremos los lados opuestos.
Formalmente, el cuadrado con los lados opuestos identificados puede ser modelado por $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^2$.
Caminaremos siguiendo las siguientes reglas:
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Empezamos en la esquina inferior izquierda, mirando hacia el norte. Esto corresponde al número $k=1$.
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Cada vez que damos un paso, aumentamos $k$ en $1$, y si $k$ resulta ser un número primo, giramos $90$ grados a la derecha.
Llamaremos $p(n)$ al menor número de pasos que necesitamos para caminar en cada caso del cuadrado.
Dibujaremos la caminata para $n=3$ para ilustrar las reglas, y para estar convencidos de que $p(3)=9$:
Estoy interesado en la secuencia $p$.
Lo que creo que es cierto es el siguiente resultado.
Conjetura. Tenemos $p(n)<\infty \iff (n=2 \text{ o }n\text{ es impar})$.
He calculado los primeros valores de $p(n)$ usando SageMath:
$$\begin{matrix} n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ p(n) &1 &4 &9 &? &90 &? &256 &? &364 &? \end{matrix}$$
Me convencí a mí mismo de que $p(n)=\infty$ si $n$ era un número par mayor que $3$ gracias al siguiente dibujo para $n=4$:
Los círculos verdes representan los casos que son potencialmente alcanzables. Los dos rectángulos azules resaltan el hecho de que solo los números pares podrán llegar allí, lo que me convenció de que algunos casos no serán alcanzables.
Sin embargo, esto no es muy formal, así que si conoces una forma de formalizar esta prueba, por favor házmelo saber.
Además, no sé cómo probar que $p(n)<\infty$ si $n$ es impar. Tal vez incluso es falso.
Si quieres saber cómo se ve $p(n)$ para $n$ impar en $\{1,\ldots, 100\}$,$\{1,\ldots, 200\}$ y $\{1,\ldots, 400\}$ respectivamente, aquí hay tres imágenes de la secuencia.
Mis preguntas son las siguientes:
¿Cómo podría empezar a probar (o refutar) la conjetura? ¿Tienes alguna referencia?
¿Cuál sería la tasa de crecimiento de $p$? ¿Podemos encontrar un equivalente de $p(2n+1)$? (pero eso sería demasiado hermoso, así que la siguiente pregunta es más fácil pero implicada por esta)
¿Existen dos secuencias interesantes $\alpha$ y $\beta$ tales que para todo $n$, $\alpha(n)\leqslant p(n)\leqslant \beta(n)$?
¿Qué más podemos decir sobre esta secuencia?
