¿Ayuda con tres preguntas de combinatoria?!

Question

Tenía problemas con estas preguntas de combinatoria, ¿alguien podría ayudarme?

(P.D. Soy nuevo en este foro, así que ten paciencia con la edición - sé que es malo, pero intenté hacerlo lo más legible posible)

1.)

a) ¿Cuántas formas hay de distribuir 18 juguetes diferentes entre cuatro niños...

i) Sin restricciones

ii) ¿Si dos niños reciben siete juguetes y dos niños reciben dos juguetes?

b) ¿Cuántas formas hay de distribuir ocho manzanas (idénticas), seis naranjas (idénticas) y siete peras (idénticas) entre tres personas diferentes...

i) ¿Sin restricciones?

ii) ¿Con cada persona recibiendo al menos una pera?

2) Supongamos que 30 juegos de computadora diferentes y 20 juguetes diferentes se van a distribuir entre tres bolsas diferentes de regalos de Navidad. La primera bolsa tendrá 20 de los juegos de computadora. La segunda bolsa tendrá 15 juguetes. La tercera bolsa tendrá 15 regalos, cualquier mezcla de juegos y juguetes. ¿Cuántas formas hay de distribuir estos 50 regalos entre las tres bolsas?

3)

a) ¿Qué fracción de todas las disposiciones de EFFLORESCENCE tiene Cs consecutivas y Fs consecutivas, pero no Es consecutivas?

b) Entre todas las disposiciones de WISCONSIN sin ningún par de vocales consecutivas, ¿qué fracción tiene una W adyacente a una I?

---

Mis intentos:

1) a) i) 4^18 ii) 18!/(2!*2!) b) i) C(8+3-1,8)C(6+3-1,6)(7+3-1,7) = C(10,8)*C(8,6)*C(9,6) ii) C(8+3-1,8)C(6+3-1,6)(7*6*5)*C(4+3-1,4) = C(10,8)*C(8,6)*210*C(6,4)

2) (30 nPr 20)*(20 nPr 15)

3) a) total = 13!/(4!2!2!) con restricciones = C(3+5-1,3)*6! = C(7,3)6! fracción = con restricciones/total = 1/2574 b) total = (3!/(2!1!))(6!/(2!2!))C(7,3) con restricciones = (6!/(2!2!))(C(5,3)+C(2,1)) respuesta = total - con restricciones

---

No estoy seguro de estar haciéndolo correctamente. Puedo explicar cualquiera de mis respuestas según sea necesario. ¡Se agradece mucho una respuesta detallada y bien explicada! ¡Gracias de antemano por tu ayuda, es muy apreciada!

Answer 1

Hacemos algunos comentarios. 1(a)(i) es correcto. Para 1(a)(ii), elegiría a los dos niños que reciben $7$ juguetes cada uno. Esto se puede hacer de $\binom{4}{2}$ formas. Los juguetes para el niño más bajo de estos dos se pueden elegir de $\binom{18}{7}$ formas, luego los juguetes para el más alto se pueden elegir de $\binom{11}{7}$ formas, luego los juguetes para el más bajo de los dos niños restantes se pueden elegir de $\binom{4}{2}$ formas, para un total de $\binom{4}{2}\binom{18}{11}\binom{11}{7}\binom{4}{2}$.

La pregunta 1(b) utiliza el método estándar de Estrellas y Barras. 1(b)(i) ha sido abordado correctamente. Pero 1(b)(ii) es incorrecto, el número de formas de distribuir las peras para que cada una reciba al menos una es de $\binom{6}{2}$.

La pregunta 2 es correcta aparte de los problemas de notación, deberías escribir ${}_{30}P_{20}$, por ejemplo.

Nota: No es una buena idea hacer una pregunta de muchas partes en MSE, particularmente si las partes no están estrechamente relacionadas.

Answer 2

Veo que el Sr. Nicolás ha publicado una respuesta mientras yo estaba trabajando en la mía. Ha abordado la corrección de todas las partes de la 1 y también de la 2. He modificado mi respuesta para abordar la corrección de la 3, y también dar enfoques alternativos a las partes de la 1 que no eran correctas. También reiteraré su recomendación de evitar publicar múltiples preguntas en una publicación en el futuro.

---

1a(ii): Comencemos asumiendo que tenemos alguna forma de distinguir entre cada uno de los niños, digamos por edad. Ahora, hay $\frac{18!}{2!2!7!7!}$ formas de dividir los juguetes en grupos numerados, con los dos primeros grupos teniendo $2$ juguetes y los dos últimos grupos teniendo $7$ juguetes. Además, hay $C(4,2)=\frac{4!}{2!2!}$ formas de determinar qué niños recibirán $2$ juguetes y qué niños recibirán $7$ juguetes. Una vez que hemos agrupado los juguetes y decidido qué niños recibirán cuántos juguetes, damos el primer grupo de juguetes al niño mayor que recibirá dos, el segundo al niño más joven de ese tipo, el tercero al niño mayor que recibirá $7$ y el cuarto al niño restante. Cada distribución de juguetes se puede obtener de esta manera. En consecuencia, la respuesta es $\frac{18!4!}{2!2!7!7!2!2!}$.

1b(ii): Requerimos que cada persona tenga al menos una pera. Así, el segundo caso sería equivalente al caso de distribuir 8 manzanas idénticas, 6 naranjas idénticas y 4 peras idénticas entre 3 personas diferentes sin restricciones.

---

3a es incorrecto. Para empezar, vamos a organizar las Fs emparejadas, la L, la O, la R, la S, las Cs emparejadas y luego la N, en algún orden. Hay $7!$ formas de hacer esto. Esto nos da algo como $$\text{_FF_L_O_R_S_CC_N_},$$ donde los espacios en blanco deben llenarse con Es, o nada. Dado que tenemos 4 Es, y dado que no deben estar adyacentes, entonces llenaremos exactamente 4 de los 8 espacios en blanco con Es, y hay $C(8,4)$ formas de hacer esto. Por lo tanto, hay $C(8,4)\cdot 7!$ formas de organizar las letras de EFFLORESCENCE con las restricciones dadas.

---

Para 3b, el total es perfecto y tu enfoque es correcto, pero has calculado incorrectamente la cantidad de formas en que un arreglo de WISCONSIN sin vocales consecutivas puede no cumplir con las restricciones. Entonces, para empezar, organicemos las consonantes, y hay de hecho $\frac{6!}{2!2!}$ formas de hacerlo. Por lo tanto, digamos que tenemos un arreglo de consonantes como el siguiente (donde C representa una consonante que no es W): $$\text{_W_C_C_C_C_C_}$$ Para no cumplir con las restricciones, ambos Is deben no estar adyacentes a W. Una forma de lograr esto es teniendo que W no esté adyacente a ninguna vocal, y hay $C(5,3)$ formas de lograr esto. La otra forma de lograr esto es teniendo a W adyacente a O, pero no a ningún I, y hay $C(2,1)\cdot C(5,2)$ formas de lograr esto. Por lo tanto, la cantidad de formas en que un arreglo de WISCONSIN sin vocales consecutivas puede no cumplir con las restricciones es $\frac{6!}{2!2!}\bigl(C(5,3)+C(2,1)C(5,2)\bigr).$