Sin hipótesis adicionales, no tiene por qué ser el caso que $\overline D$ se incrusta en $K$.
$\Bbb N$ con su orden usual y la topología del orden es un LOTS que está densamente incrustado en el espacio Hausdorff compacto $\beta\Bbb N$. La completación de Dedekind $\overline{\Bbb N}$ de $\Bbb N$ es $\Bbb N\cup\{\infty\}$, donde $n<\infty$ para cada $n\in\Bbb N$ y la topología del orden hace que esta sea la compactificación de un punto de $\Bbb N$. Sin embargo, $\beta\Bbb N$ no contiene un subespacio homeomorfo a $\overline{\Bbb N}$: cada subconjunto cerrado infinito de $\beta\Bbb N$ contiene una copia de $\beta\Bbb N$. (Ver, por ejemplo, Teorema 3.6.14 de Engelking, General Topology).
Agregado: Sea $D=\Bbb Q\cap(-1,1)$, de modo que $\overline{D}=[-1,1]$. Sea $\tau$ la topología usual en $[-1,1]$. Definimos
$$f:[-1,1]\to[-1,1]:x\mapsto\begin{cases} x,&\text{si }x\in D\\ -x,&\text{si }x\notin D\;. \end{cases}$$
Sea $\tau'=\{f[U]:U\in\tau\}$; $f$ es una biyección, así que es fácil verificar que $\tau'$ es una topología en $[-1,1]$ y de hecho que $\big\langle[-1,1],\tau'\big\rangle$ es homeomorfo a $\big\langle[-1,1],\tau'\big\rangle$ y tiene a $D$ como un subconjunto denso. Sin embargo, $\tau\nsubseteq\tau'\nsubseteq\tau$.
Agregado2: Sea $A=\{2^{-n}:n\in\Bbb Z^+\}$ y sea $D=[0,1]\setminus A$ con el orden usual; claramente $\overline{D}=[0,1]$. Sea $X=\big([0,1]\times\{0\}\big)\cup\big(A\times\{1\}\big)$, ordenado lexicográficamente; no es difícil verificar que $X$ es compacto y que $D\times\{0\}$ es denso en $X$ y homeomorfo a $D$. Observa que $X$ no está conectado; por ejemplo, $\left\{\left\langle\frac12,1\right\rangle\right\}\cup\left(\left(\frac12,1\right]\times\{0\}\right)$ es un subconjunto clopen de $X$, por lo que $X$ no es homeomorfo a $\overline{D}$. (De hecho, $X$ es homeomorfo a la compactificación de un punto de $[0,1]\times\omega$). Sea
$$f:[0,1]\to X:x\mapsto\begin{cases} \langle x,0\rangle,&\text{si }x\in D\\ \langle 2^{-n},0\rangle,&\text{si }x=2^{-2n}\text{ para algún }n\in\Bbb Z^+\\ \langle 2^{-n},1\rangle,&\text{si }x=2^{-(2n-1)}\text{ para algún }n\in\Bbb Z^+\;. \end{cases}$$
claro está que $f$ es una biyección. Sea $\tau=\{f^{-1}[U]:U\text{ es abierto en }X\}$; entonces $\tau$ es una topología en $[0,1]$. Denotamos $\big\langle[0,1],\tau\big\rangle$ por $K$; $K$ es homeomorfo a $X$ y $D$ tiene la misma topología relativa en $K$ que en $[0,1]$ con su topología usual, pero $K$ y $[0,1]$ no son homeomorfos. Además, si $\mathscr{E}$ es la topología euclidiana en $[0,1]$, entonces
$$\left\{\frac14\right\}\cup\left(\frac38,\frac12\right)\in\tau\setminus\mathscr{E}\;,$$
y
$$\left(\frac3{16},\frac38\right)\in\mathscr{E}\setminus\tau\;,$$
entonces $\mathscr{E}$ y $\tau$ no son comparables en la retícula de topologías en $[0,1]$.
