Estoy confundido acerca de la definición de conjunto cerrado y abierto en la Topología de Zariski, se dice que el conjunto $$V(I)=\{P \in \operatorname{Spec}(R)\mid I \subseteq P\}$$ son los conjuntos cerrados en la Topología de Zariski. Pero en el libro "Topology" de James Munkres se dice que un subconjunto $U$ de $X$ es un conjunto abierto de $X$ si $U$ pertenece a la colección $\tau$. Entonces asumiendo que $V(I)$ es el conjunto cerrado de la Topología de Zariski en $\operatorname{Spec}(R)$, ¿no debería la colección de $D(r)$ en la que $$D(r)=\{P \in \operatorname{Spec}(R)\mid r \notin P\}$$ ser la topología $\tau$ en $\operatorname{Spec}(R)$? Pero, en unas notas de conferencia sobre la Topología de Zariski www.math.kth.se/~laksov/courses/algebradr01/notes/rings5.pdf, en la proposición 5.3 para ser preciso, lo que se prueba que es la topología $\tau$ es la colección $V(I) en su lugar. ¿Alguien podría explicarme esto? Gracias.
Respuesta
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Lo que se ha demostrado es que las intersecciones arbitrarias y las uniones finitas de tales conjuntos son nuevamente conjuntos de esa forma. Esto es exactamente dual a los requisitos de una topología, por lo que los complementos de los conjuntos $V(I)$ son los conjuntos abiertos en la topología de Zariski.
Los complementos de $V(I)$ no son generalmente de la forma $D(r)$, pero son uniones de tales conjuntos, por lo que llamamos a la colección de $D(r)$ una base de la topología.
