Gráfico de $1/\zeta(n)$ donde $n$ varía entre números reales positivos.

Question

¿Podemos obtener un gráfico de $(1/\zeta(n))$ para $n$ perteneciente a los números reales?

Sé que a medida que

$n \rightarrow \infty$

$\zeta \rightarrow 1$

es decir, es asintótico a 1

pero ¿cómo sería un gráfico exacto?

(Sólo la raíz de la ecuación es $n=1$ en el dominio dado)

Answer 1

Se ha representado el recíproco de la función zeta de Riemann, por ejemplo aquí, en la parte inferior de la página, por ejemplo, $\frac{1}{\zeta(x)}$ para $x\ge 1$.

El artículo vinculado sobre la función zeta de Riemann es interesante en sí mismo y tiene varios otros gráficos incluidos.

Answer 2

Para $s> 1$ y por continuación analítica para $s> 0$ $$\zeta(s) = \frac1{s-1}+\sum_{n=1}^\infty (n^{-s}-\int_n^{n+1} x^{-s}dx)$$

Así, para cualquier $N \in \Bbb{Z}_{\ge 2}$ y para todo $s> 0$ $$ |\zeta(s)-\sum_{n=1}^N n^{-s}-\frac{(N+1)^{-s}}{s-1}| =|\sum_{n=N+1}^\infty \int_n^{n+1} \int_n^x s t^{-s-1}dtdx| \le \int_{N+1}^\infty sx^{-s-1}dx \le (N+1)^{-s}$$

Esto es suficiente para graficar $1/\zeta(s)$ para $s>\epsilon$