Tu error es pensar que "el orden y el infinito" significa "bijectable con $\mathbb{N}$". Su argumento no es suficiente ni siquiera para dar un bijection entre el $\mathbb{N}$ y el siguiente-orden de los números enteros: el orden de los números enteros no negativos en la forma habitual; hacer que cada número negativo más grande que cualquier número no negativo, y comparar números negativos mediante la comparación de su valor absoluto. Es decir, el bien de pedidos
$$0, 1, 2, 3,\ldots, n,\ldots ; -1, -2, -3, \ldots, -n, \ldots$$
donde ";" significa que $-1$ es mayor que cualquier número entero no negativo. Este tipo de orden se llama $\omega+\omega$, porque es esencialmente dos copias de $\mathbb{N}$, se colocó uno después del otro ($\omega$ es el ordinal nombre de la orden de los números naturales). Esto es aún contables, por supuesto, pero usted probablemente puede ver ya que su argumento acerca de los pedidos a los reales para obtener un bijection con $\mathbb{N}$ ya está en serios problemas: no tiene una orden para asumiendo que realmente va a "golpear" a cada número real (y de hecho, no).
Añadido: Sólo para la integridad: para demostrar este es un pedido de $\mathbb{Z}$, vamos a $A$ ser cualquier subconjunto no vacío de a $\mathbb{Z}$. Si $A\cap\mathbb{N}$ es no vacío, entonces el menor elemento de a $A$ es el menor elemento de a $\mathbf{a}$ $A\cap\mathbb{N}$ (mi naturals incluir $0$, por cierto), ya que dado cualquier $a\in A$ si $a\in\mathbb{N}$, entonces por definición de $\mathbf{a}$ tenemos $\mathbf{a}\leq a$. Y si $a$ es negativo, entonces a partir de la $\mathbf{a}$ es no negativa tenemos $\mathbf{a}\leq a$. Por lo tanto, $\mathbf{a}$ es el menor elemento de a $A$. Si, por otro lado, tenemos a $A\cap\mathbb{N}=\emptyset$, entonces eso significa que $A$ se compone sólo de los números negativos. Deje $B=\{ |a|\mid a\in A\}$. A continuación, $B\subseteq\mathbb{N}$ y es no vacío, entonces tiene al menos un elemento de a $\mathbf{b}$. A continuación, $\mathbf{a}=-\mathbf{b}\in A$ es el menor elemento de a $A$, ya que dado cualquier $a\in A$, $a$ es negativo, por supuesto, y para que $|\mathbf{a}| = \mathbf{b}\leq |a|$; ya que esta es la manera de comparar los números negativos en este orden, tenemos que $\mathbf{a}$ es menor o igual a $a$, por lo tanto $\mathbf{a}$ es el menor elemento de a $A$, como se reivindica.
