Un problema sutil respecto a la línea tangente cuando la pendiente es cero

Question

En la sección de "Aplicaciones de las Derivadas Parciales" en el libro de cálculo de Adams, 7ª edición, página 756, hay una parte que habla sobre "Multiplicadores de Lagrange". Dice:

Supongamos que $f$ y $g$ tienen primeras derivadas parciales continuas cerca del punto $P_0=(x_0,y_0)$ en la curva $C$ con ecuación $g(x,y)=0$. Supongamos además que, al restringirse a puntos en $C$, la función $f(x,y)$ tiene un valor máximo o mínimo local en $P_0$. Finalmente supongamos que:
(i) $P_0$ no es un punto final de $C$, y
(ii) $g(P_0)0$,
Entonces existe un número $_0$ tal que $(x_0,y_0,_0)$ es un punto crítico de la función Lagrangiana $L(x,y,)=f(x,y)+g(x,y)$.

Prueba: Juntas, (i) y (ii) implican que $C$ es lo suficientemente suave como para tener una recta tangente en $P_0$…

¿Alguien puede explicar por qué es cierta la primera oración de la prueba? Quiero decir, ¿por qué (i) y (ii) implican que $C$ es lo suficientemente suave como para tener una recta tangente? Tengo problemas principalmente con (ii). ¿Qué sucede con la suavidad y la recta tangente cuando $g(P_0)$ es cero y qué diferencia hace cuando no es cero? ¿Es una condición necesaria para la suavidad de $C$ en $P_0$ que $g(P_0)0$?

Cualquier ayuda sobre la relevancia de (ii) para la suavidad de $C$ en $P_0$ sería muy apreciada.

Answer 1

$\def\R{\mathbb{R}}\def\d{\mathrm{d}}$Para tu primera pregunta, debido a que$$ g(x, y) = 0 \Longleftrightarrow \frac{∂g}{∂x}(x, y) \,\d x + \frac{∂g}{∂y}(x, y) \,\d y = 0, $$ si $∇g(x_0, y_0) ≠ (0, 0)$, entonces la recta tangente de $C$ en $P_0$ es$$ \frac{∂g}{∂x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \frac{∂g}{∂y}(x_0, y_0) (y - y_0) = 0. $$

Para tu segunda pregunta, en realidad no es necesario requerir que $∇g(x_0, y_0) ≠ (0, 0)$ para asegurar que $C$ tenga una recta tangente en $(x_0, y_0)$. Por ejemplo, si $g(x, y) = (x^2 - y)^2$ para $(x, y) \in \R^2$ y $P_0 = (0, 0)$, entonces $C = \{(t, t^2) \mid t \in \R\}$ tiene la recta tangente $y = 0$ en $P_0$, pero $∇g(0, 0) = (0, 0)$.

Sin embargo, la condición $∇g(x_0, y_0) ≠ (0, 0)$ se suele imponer para asegurar que $C$ no bifurque en $P_0$. Cuando esta condición se cumple, al menos una de las siguientes proposiciones se cumple según el teorema de la función implícita:

1. Existe una función $u$ tal que $g(x, y) = 0 \Leftrightarrow y = u(x)$ para $(x, y)$ en un entorno de $P_0$;
2. Existe una función $v$ tal que $g(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = v(y)$ para $(x, y)$ en un entorno de $P_0$,

lo cual implica que $P_0$ no es un punto de auto-intersección de $C$. Por ejemplo, si$$ g(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2),\quad \forall (x, y) \in \R^2 $$ y $P_0 = (0, 0)$, entonces $∇g(0, 0) = (0, 0)$ y $C$ se auto-intersecta en $P_0$.