Existencia de derivada temporal en el espacio de Bochner $L^2(0,T;H_0^1(U))$ (ecuación parabólica pde)

Question

Evans define una función $u=[u(t)](x):=u(t,x)$, \begin{equation} u\in L^2(0,T;H_0^1(U))\quad\text{con}\quad u'\in L^2(0,T;H^{-1}(U)) \end{equation} como una solución débil de un cierto problema de valores iniciales y en la frontera parabólico (es decir, si \begin{equation} \langle u',v\rangle+B[u,v;t]=(f,v)\quad\text{para todo }v\in H_0^1(U) \end{equation} y $u(0)=g$).

Mi pregunta: ¿Se entiende que la derivada temporal $u'$ anterior existe en un sentido distribucional/débil, está bien, pero cómo sabemos que $u'$ existe, o es esto una suposición implícita? (Esto es de la sección 7 en Evans)

Answer 1

Sí, es simplemente la definición de la solución débil. Puedes usar muchos métodos para mostrar la existencia de tales soluciones débiles, como el método de Galerkin, que es exactamente lo que Evans usó en su libro. Para una función de valores vectoriales $u\in L^p(0,T;X)$, la derivada débil $u'$ se define como la distribución $T(u)$ tal que $$ \int_0^T T(u)vdt=-\int_0^T u v' dt\quad \forall v\in C_c^\infty((0,T)). $$ Luego definimos $W^{1,p}(0,T;X)=\{u\in L^p(0,T;X); u'\in L^p(0,T;X)\}$. $ u'\in L^p(0,T;X)$ si y solo si existe una función $L^p$ $u'$ tal que para cualquier $f\in X'$, la función $t\to \langle f, u(t)\rangle$ es absolutamente continua, y $\langle f, u'\rangle=\frac{d}{dt}\langle f, u(t)\rangle$.