$2$-dimensional Runge-Kutta para sistemas de EDOs polinomiales

Question

Apenas he comenzado a meterme en las EDOs, y me he encontrado con el método de Runge-Kutta para resolverlas numéricamente. Sin embargo, al jugar con ellas para modelar situaciones hipotéticas, me encontré con las ecuaciones:

$$\begin{aligned} \dot x &= x - x^2 - y\\ \dot y &= xy - y^2 \end{aligned}$$

Estaba tratando de pensar cómo usar los métodos de Runge Kutta para esto, y no pude entenderlo. ¿Cómo se llama este tipo de ecuación diferencial, y cómo puedo simular/resolverla?

Answer 1

Las fórmulas de Runge-Kutta para un sistema de ecuaciones diferenciales son realmente las mismas que para una sola ecuación, simplemente que tu variable dependiente es un vector en lugar de un escalar. Escribe tu sistema como $$\dfrac{dX}{dt} = F(t, X(t))$$ donde $X = (x, y)$. Si estás utilizando el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden con un tamaño de paso $h$, tu iteración será $$ \eqalign{K_1 &= h F(t_n, X_n)\cr K_2 &= h F(t_n + h/2, X_n + K_1 /2)\cr K_3 &= h F(t_n + h/2, X_n + K_2 /2)\cr K_4 &= h F(t_n + h, X_n + K_3)\cr t_{n+1} &= t_n + h\cr X_{n+1} &= X_n + (K_1 + 2 K_2 + 2 K_3 + K_4)/6\cr}$$